Упр.55.7 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)
Решение #1
Решение #2
Решение #3ИИ
Варианты решения:
Исследуйте уравнения на наличие корнейС пояснением
Для существования квадратного корня подкоренное выражение должно быть неотрицательным.а) Оба корня определены при \(3x-5\ge 0\) и \(9-7x\ge 0\), то есть при \(x \ge 5/3\) и \(x \le 9/7\). Поскольку \(5/3 > 9/7\), таких x нет.б) Оба корня определены при \(x^2-4\ge 0\) и \(1-x^2\ge 0\), то есть при \(x^2 \ge 4\) и \(x^2 \le 1\). Эти условия несовместны.Ответ: оба уравнения не имеют корней.
Кратко а) ОДЗ: \(x \ge 5/3\) и \(x \le 9/7\). Так как \(5/3 > 9/7\), ОДЗ пуста.б) ОДЗ: \(x^2 \ge 4\) и \(x^2 \le 1\). Условия несовместны.Ответ: корней нет в обоих уравнениях.
Кратко а) ОДЗ: \(x \ge 5/3\) и \(x \le 9/7\). Так как \(5/3 > 9/7\), ОДЗ пуста.б) ОДЗ: \(x^2 \ge 4\) и \(x^2 \le 1\). Условия несовместны.Ответ: корней нет в обоих уравнениях.
а) Предположим, что x — корень уравнения. Тогда обе его части существуют, поэтому можно возвести равенство в квадрат:
\(3x - 5 = 9 - 7x\).
Отсюда \(10x = 14\), то есть \(x = \dfrac{7}{5}\). Но при этом
\(3x - 5 = 9 - 7x\).
Отсюда \(10x = 14\), то есть \(x = \dfrac{7}{5}\). Но при этом
\[3x - 5 = \frac{21}{5} - \frac{25}{5} = -\frac{4}{5},\]
поэтому квадратный корень не определён. Получено противоречие, следовательно, корней нет.б) Предположим, что x — корень уравнения. Возведём равенство в квадрат:\[(x^2 - 4) + (1 - x^2) + 2\sqrt{(x^2 - 4)(1 - x^2)} = 16.\]
Тогда\[-3 + 2\sqrt{(x^2 - 4)(1 - x^2)} = 16,\]
\[\sqrt{(x^2 - 4)(1 - x^2)} = \frac{19}{2},\]
\[(x^2 - 4)(1 - x^2) = \frac{361}{4}.\]
Положим \(t = x^2\). Тогда\[(t - 4)(1 - t) = -t^2 + 5t - 4 = \frac{9}{4} - \left(t - \frac{5}{2}\right)^2 \leq \frac{9}{4}.\]
Но по уравнению это выражение должно равняться \(\frac{361}{4}\), что невозможно. Следовательно, корней нет.Ответ: оба уравнения не имеют корней.
Рассмотрим вариант решения задания из учебника
Мордкович, Семенов 10-11 класс, Мнемозина:
Докажите, что уравнение не имеет корней:
а) корень(Зх - 5) = корень(9 - 7х);
б) корень(x^2 - 4) + корень(1 - х^2) = 4.
