Упр.55.4 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)
Решение #1
Решение #2
Решение #3ИИ
Варианты решения:
Определите равносильность уравненийС пояснением
а) При всех x подкоренные выражения \(2x^2 + 2\) и \(x^4 + 3\) положительны. Поэтому равенство их квадратных корней равносильно равенству самих выражений. Уравнения равносильны.б) При всех \(x\) выражение \(\sin^2 x + 1\) положительно. Возводим обе части первого уравнения в четвёртую степень: \(\sin^2 x + 1 = 1\), откуда \(\sin^2 x = 0\). Это преобразование равносильно, поэтому уравнения равносильны.Ответ: а) да; б) да.
Кратко а) Оба подкоренных выражения положительны при всех x, поэтому равенство корней равносильно равенству подкоренных выражений.
б) Возведение обеих частей в четвёртую степень даёт \(\sin^2 x + 1 = 1\), или \(\sin^2 x = 0\); преобразование равносильно.Ответ: а) да; б) да.
Кратко а) Оба подкоренных выражения положительны при всех x, поэтому равенство корней равносильно равенству подкоренных выражений.
б) Возведение обеих частей в четвёртую степень даёт \(\sin^2 x + 1 = 1\), или \(\sin^2 x = 0\); преобразование равносильно.Ответ: а) да; б) да.
а) Заметим:
\[x^4+3=(2x^2+2)+(x^2-1)^2\ge 2x^2+2.\]
Поэтому \(\sqrt{x^4+3}\ge\sqrt{2x^2+2}\), причём равенство достигается только при\[(x^2-1)^2=0,\]
то есть при \(x=\pm1\).Решим второе уравнение:\[2x^2+2=x^4+3,\]
\[x^4-2x^2+1=0,\]
\[(x^2-1)^2=0,\]
откуда \(x=\pm1\). Множества решений совпадают, следовательно, уравнения равносильны.б) Так как \(\sin^2x\ge0\), то \(\sin^2x+1\ge1\), а значит,\[\sqrt[4]{\sin^2x+1}\ge1.\]
Равенство единице возможно только при \(\sin^2x=0\), то есть при\[x=\pi k,\quad k\in\mathbb Z.\]
Второе уравнение \(\sin^2x=0\) имеет то же множество решений: \(x=\pi k\), \(k\in\mathbb Z\). Следовательно, уравнения равносильны.Ответ: а) да; б) да.
Рассмотрим вариант решения задания из учебника
Мордкович, Семенов 10-11 класс, Мнемозина:
Равносильны ли уравнения:
a) корень(2х^2 + 2) = корень(х^4 + 3) и 2х^2 + 2 = х^4 + 3;
б) (4)корень(sin^2 (x + 1)) = 1 и sin^2 x = 0?
