Упр.643 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Алгебра)
Решение #1(Учебник 2026)
Решение #2(Учебник 2026)
Решение #3 (Учебник 2026)ИИ
Варианты решения:
Определи, какие последовательности являются арифметическими прогрессиямиС пояснением
Пусть d — разность прогрессии (aₙ). Проверим разности соседних членов каждой последовательности.
а) a₂ₙ₊₂ − a₂ₙ = 2d. Разность постоянна, значит, это арифметическая прогрессия.
б) (aₙ₊₁ − 1) − (aₙ − 1) = d. Это арифметическая прогрессия.
в) 2aₙ₊₁ − 2aₙ = 2d. Это арифметическая прогрессия.
г) Не обязательно. Например, для прогрессии 1; 2; 3; … получаем 1; 4; 9; … . Разности \(4 - 1 = 3\) и \(9 - 4 = 5\) различны, поэтому последовательность квадратов не является арифметической прогрессией.
Ответ: а), б), в) — да; г) — не обязательно.
Кратко Пусть d — разность прогрессии (aₙ).
а) a₂ₙ₊₂ − a₂ₙ = 2d, значит, да.
б) (aₙ₊₁ − 1) − (aₙ − 1) = d, значит, да.
в) 2aₙ₊₁ − 2aₙ = 2d, значит, да.
г) Не обязательно: для 1; 2; 3; … квадраты 1; 4; 9; … имеют разные разности: 3 и 5.
Ответ: а), б), в) — да; г) — не обязательно.
а) a₂ₙ₊₂ − a₂ₙ = 2d. Разность постоянна, значит, это арифметическая прогрессия.
б) (aₙ₊₁ − 1) − (aₙ − 1) = d. Это арифметическая прогрессия.
в) 2aₙ₊₁ − 2aₙ = 2d. Это арифметическая прогрессия.
г) Не обязательно. Например, для прогрессии 1; 2; 3; … получаем 1; 4; 9; … . Разности \(4 - 1 = 3\) и \(9 - 4 = 5\) различны, поэтому последовательность квадратов не является арифметической прогрессией.
Ответ: а), б), в) — да; г) — не обязательно.
Кратко Пусть d — разность прогрессии (aₙ).
а) a₂ₙ₊₂ − a₂ₙ = 2d, значит, да.
б) (aₙ₊₁ − 1) − (aₙ − 1) = d, значит, да.
в) 2aₙ₊₁ − 2aₙ = 2d, значит, да.
г) Не обязательно: для 1; 2; 3; … квадраты 1; 4; 9; … имеют разные разности: 3 и 5.
Ответ: а), б), в) — да; г) — не обязательно.
Пусть \(a_n = a_1 + (n - 1)d\).а) \(a_{2n} = a_1 + (2n - 1)d = a_1 + d + (n - 1)\cdot 2d\). Это формула арифметической прогрессии с первым членом \(a_2 = a_1 + d\) и разностью 2d.б) \(a_n - 1 = (a_1 - 1) + (n - 1)d\). Это арифметическая прогрессия с первым членом \(a_1 - 1\) и разностью d.в) \(2a_n = 2a_1 + (n - 1)\cdot 2d\). Это арифметическая прогрессия с первым членом \(2a_1\) и разностью 2d.г) \(a_n^2 = (a_1 + (n - 1)d)^2\). При \(d \ne 0\) эта формула содержит квадрат \((n - 1)^2\) и не имеет вида \(A + (n - 1)D\), поэтому последовательность в общем случае не является арифметической прогрессией. Если d = 0, исходная прогрессия постоянна, и последовательность квадратов также постоянна, то есть является арифметической прогрессией.Ответ: а), б), в) — да; г) — не обязательно, только при d = 0.
Решение #4(Учебник 2024)
Решение #5(Учебник 2024)
Решение #6(Учебник 2024)
Решение #7 (Учебник 2024)ИИ
Варианты решения:
Найдите три числа арифметической прогрессииС пояснением
Пусть d — разность арифметической прогрессии, а её второй член равен x. Тогда числа равны x − d, x, x + d.
Из их суммы: \(3x = 21\), откуда \(x = 7\).
После изменения чисел получаем геометрическую прогрессию: 7 − d, 6, 8 + d. По свойству геометрической прогрессии:
При \(d = 4\) получаем \(3, 7, 11\); при \(d = -5\) получаем \(12, 7, 2\).
Проверка: после изменения получаются геометрические прогрессии 3, 6, 12 и 12, 6, 3.
Ответ: 3, 7, 11 или 12, 7, 2.
Кратко Пусть числа равны \(x - d, x, x + d\). Тогда \(3x = 21, x = 7\).
По свойству геометрической прогрессии:
\((7 - d)(8 + d) = 6^2\);
\(d^2 + d - 20 = 0\);
d = 4 или d = −5.
Ответ: 3, 7, 11 или 12, 7, 2.
Из их суммы: \(3x = 21\), откуда \(x = 7\).
После изменения чисел получаем геометрическую прогрессию: 7 − d, 6, 8 + d. По свойству геометрической прогрессии:
\[(7-d)(8+d)=6^2;\]
\[d^2+d-20=0;\]
\[(d-4)(d+5)=0.\]
Значит, \(d = 4\) или \(d = -5\).При \(d = 4\) получаем \(3, 7, 11\); при \(d = -5\) получаем \(12, 7, 2\).
Проверка: после изменения получаются геометрические прогрессии 3, 6, 12 и 12, 6, 3.
Ответ: 3, 7, 11 или 12, 7, 2.
Кратко Пусть числа равны \(x - d, x, x + d\). Тогда \(3x = 21, x = 7\).
По свойству геометрической прогрессии:
\((7 - d)(8 + d) = 6^2\);
\(d^2 + d - 20 = 0\);
d = 4 или d = −5.
Ответ: 3, 7, 11 или 12, 7, 2.
Среднее число арифметической прогрессии равно трети суммы, то есть 7. После его уменьшения на 1 средний член геометрической прогрессии равен 6.Пусть q — знаменатель полученной геометрической прогрессии. Тогда её члены равны \(\dfrac{6}{q}\), 6 и \(6q\), где \(q \ne 0\). Следовательно, исходные числа равны \(\dfrac{6}{q}\), 7 и \(6q - 1\).По свойству арифметической прогрессии удвоенный средний член равен сумме крайних:
При \(q = 1/2\) исходные числа: \(12\), \(7\), \(2\).Ответ: 3, 7, 11 или 12, 7, 2.
\[2 \cdot 7 = \frac{6}{q} + 6q - 1.\]
Отсюда:\[\frac{6}{q} + 6q = 15;\]
\[6q^2 - 15q + 6 = 0;\]
\[2q^2 - 5q + 2 = 0;\]
\[(2q - 1)(q - 2) = 0.\]
Поэтому \(q = 1/2\) или \(q = 2\).При q = 2 исходные числа: 3, 7, 11.При \(q = 1/2\) исходные числа: \(12\), \(7\), \(2\).Ответ: 3, 7, 11 или 12, 7, 2.
Рассмотрим вариант решения задания из учебника
Макарычев, Миндюк, Нешков 9 класс, Просвещение:
Задание учебника 2026 года
Последовательность (аn) — арифметическая прогрессия. Является ли арифметической прогрессией последовательность:
а) a2;a4;...;a2n;...;
б) аn - 1; а2 - 1; ... ; аn -1;...;
в) 2а1; 2а2; ... ; 2аn; ... ;
г) а 2/1; а 2/2; ... ; a 2/n; ... ?
Задание учебника 2024 года
Сумма трёх чисел, образующих арифметическую прогрессию, равна 21. Найдите эти числа, если известно, что, уменьшив второе из них на 1 и увеличив третье на 1, мы получим геометрическую прогрессию.
