Упр.645 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Алгебра)
Решение #1(Учебник 2026)
Решение #2(Учебник 2026)
Решение #3(Учебник 2026)
Решение #4(Учебник 2024)
Решение #5(Учебник 2024)
Решение #6(Учебник 2024)
Решение #7 (Учебник 2024)ИИ
Варианты решения:
Могут ли стороны образовать геометрическую прогрессию?С пояснением
Пусть катеты прямоугольного треугольника равны \(a\) и \(aq\), а гипотенуза — \(aq^2\), где \(a > 0\), \(q > 1\).
Кратко Пусть катеты равны \(a\) и \(aq\), гипотенуза — \(aq^2\), где \(a > 0\), \(q > 1\).
Пусть \(t = q^2\). Тогда \(t^2 - t - 1 = 0\), \(t = \frac{1 + \sqrt{5}}{2}\), поскольку \(t > 0\). Значит, \(q = \sqrt{\frac{1 + \sqrt{5}}{2}} > 1\).Проверка: \(q^4 = \frac{3 + \sqrt{5}}{2} = 1 + q^2\), поэтому равенство теоремы Пифагора выполняется.Ответ: да, могут; \(q = \sqrt{\frac{1 + \sqrt{5}}{2}}\).
A |\ | \ | \ aq² | \ a \ | \ C------B aq∠C = 90°.По теореме Пифагора:
\[a^{2} + (aq)^{2} = (aq^{2})^{2}.\]
Разделим на \(a^2\) и введём замену \(t = q^{2}\):\[1 + q^{2} = q^{4};\]
\[t^{2} - t - 1 = 0;\]
\[t = \frac{1 \pm \sqrt{5}}{2}.\]
Так как \(t > 0\), получаем \(t = \frac{1 + \sqrt{5}}{2}\). Тогда \(q = \sqrt{\frac{1 + \sqrt{5}}{2}} > 1\).Проверка: при \(q^2 = \frac{1 + \sqrt{5}}{2}\) имеем \(q^4 = \frac{3 + \sqrt{5}}{2} = 1 + q^2\). Следовательно, \(a^2 + (aq)^2 = (aq^2)^2\).Ответ: да, могут; знаменатель прогрессии при расположении сторон по возрастанию равен \(\sqrt{\frac{1 + \sqrt{5}}{2}}\).Кратко Пусть катеты равны \(a\) и \(aq\), гипотенуза — \(aq^2\), где \(a > 0\), \(q > 1\).
A |\ | \ aq² | \ a \ | \ C-----B aq∠C = 90°.По теореме Пифагора: \(a^2 + a^2q^2 = a^2q^4\), откуда \(q^4 - q^2 - 1 = 0\).
Пусть \(t = q^2\). Тогда \(t^2 - t - 1 = 0\), \(t = \frac{1 + \sqrt{5}}{2}\), поскольку \(t > 0\). Значит, \(q = \sqrt{\frac{1 + \sqrt{5}}{2}} > 1\).Проверка: \(q^4 = \frac{3 + \sqrt{5}}{2} = 1 + q^2\), поэтому равенство теоремы Пифагора выполняется.Ответ: да, могут; \(q = \sqrt{\frac{1 + \sqrt{5}}{2}}\).
Пусть в прямоугольном треугольнике ABC:
\(∠C=90°\), \(AC=a\), \(BC=b\), \(AB=c\), причём \(a<b<c\). Проведём высоту \(CD\) к гипотенузе \(AB\).C
/|\
a / | \ b
/ | \
A---D---B
\(b^2=ac\).По теореме о катете и его проекции на гипотенузу:
\(b^2=c\cdot BD\).Следовательно, \(c\cdot BD=ac\), откуда \(BD=a\). Поэтому \(AD=c-a\).Для второго катета по той же теореме:
\(a^2=c\cdot AD=c(c-a)\).Пусть \(x=\dfrac{c}{a}\). Разделим равенство на \(a^2\):
\(s\), \(s\sqrt{φ}\), \(sφ\), где \(s>0\).
Они образуют геометрическую прогрессию со знаменателем \(\sqrt{\varphi}\). Кроме того,
\(∠C=90°\), \(AC=a\), \(BC=b\), \(AB=c\), причём \(a<b<c\). Проведём высоту \(CD\) к гипотенузе \(AB\).C
/|\
a / | \ b
/ | \
A---D---B
\(AB=c\)
Если a, b, c образуют геометрическую прогрессию, то\(b^2=ac\).По теореме о катете и его проекции на гипотенузу:
\(b^2=c\cdot BD\).Следовательно, \(c\cdot BD=ac\), откуда \(BD=a\). Поэтому \(AD=c-a\).Для второго катета по той же теореме:
\(a^2=c\cdot AD=c(c-a)\).Пусть \(x=\dfrac{c}{a}\). Разделим равенство на \(a^2\):
\[1=x(x-1),\]
\[x^2-x-1=0.\]
Отсюда\[x=\frac{1\pm\sqrt{5}}{2}.\]
Так как \(x=c/a>1\), получаем\[x=\frac{1+\sqrt{5}}{2}.\]
Поскольку \(\dfrac{c}{a}=q^2\) для трёх последовательных членов геометрической прогрессии,\[q=\sqrt{\frac{1+\sqrt{5}}{2}}.\]
Проверка. Обозначим \(\varphi=\dfrac{1+\sqrt{5}}{2}\). Тогда \(\varphi^2=\varphi+1\). Возьмём стороны\(s\), \(s\sqrt{φ}\), \(sφ\), где \(s>0\).
Они образуют геометрическую прогрессию со знаменателем \(\sqrt{\varphi}\). Кроме того,
\[s^2+(s\sqrt{\varphi})^2=s^2(1+\varphi)=s^2\varphi^2=(s\varphi)^2.\]
По теореме, обратной теореме Пифагора, треугольник с такими сторонами прямоугольный.Ответ: да, могут; знаменатель прогрессии равен \(\sqrt{\dfrac{1+\sqrt{5}}{2}}\).
Рассмотрим вариант решения задания из учебника
Макарычев, Миндюк, Нешков 9 класс, Просвещение:
Задание учебника 2026 года
Найдите номер члена арифметической прогрессии (аn):
а) равного -2,94, если а1 = 1,26 и d = -0,3;
б) равного -9,7, если а5 = -3,7 и d = -0,6.
Задание учебника 2024 года
(Задача-исследоваиие.) Могут ли длины сторон прямоугольного треугольника составлять геометрическую прогрессию?
1) Сделайте чертёж и введите необходимые обозначения.
2) Какую теорему из курса геометрии можно использовать при ответе на вопрос задачи?
3) Составьте уравнение и решите его.
4) Сформулируйте вывод и выполните проверку.
