Упр.1517 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)
Решение #1
Решение #2
Решение #3ИИ
Варианты решения:
Найти ближайшую точку параболыС пояснением
Пусть \(M(x; x^2)\) — точка параболы. Минимум расстояния \(AM\) достигается при минимуме его квадрата:
\(\displaystyle AM^2 = (x-2)^2 + (x^2-\dfrac{1}{2})^2 = x^4-4x+\dfrac{17}{4}\).
Рассмотрим функцию \(f(x) = x^4-4x+\dfrac{17}{4}\). Её производная:
\(f'(x) = 4x^3-4 = 4(x^3-1)\).
При \(x < 1\) производная отрицательна, а при \(x > 1\) положительна. Значит, функция убывает до x = 1 и возрастает после него, поэтому минимум достигается при x = 1. Тогда \(y = 1^2 = 1\).
Ответ: (1; 1).
Кратко Пусть \(M(x; x^2)\) — точка параболы. Минимизируем квадрат расстояния:
\(\displaystyle f(x) = AM^2 = (x-2)^2 + (x^2-\dfrac{1}{2})^2 = x^4-4x+\dfrac{17}{4}\).
\(f'(x) = 4(x^3-1)\). Производная меняет знак с минуса на плюс при \(x = 1\), поэтому здесь достигается минимум. При \(x = 1\) имеем \(y = 1\).
Ответ: (1; 1).
\(\displaystyle AM^2 = (x-2)^2 + (x^2-\dfrac{1}{2})^2 = x^4-4x+\dfrac{17}{4}\).
Рассмотрим функцию \(f(x) = x^4-4x+\dfrac{17}{4}\). Её производная:
\(f'(x) = 4x^3-4 = 4(x^3-1)\).
При \(x < 1\) производная отрицательна, а при \(x > 1\) положительна. Значит, функция убывает до x = 1 и возрастает после него, поэтому минимум достигается при x = 1. Тогда \(y = 1^2 = 1\).
Ответ: (1; 1).
Кратко Пусть \(M(x; x^2)\) — точка параболы. Минимизируем квадрат расстояния:
\(\displaystyle f(x) = AM^2 = (x-2)^2 + (x^2-\dfrac{1}{2})^2 = x^4-4x+\dfrac{17}{4}\).
\(f'(x) = 4(x^3-1)\). Производная меняет знак с минуса на плюс при \(x = 1\), поэтому здесь достигается минимум. При \(x = 1\) имеем \(y = 1\).
Ответ: (1; 1).
Пусть \(M(x; x^2)\) — произвольная точка параболы. Тогда
\(x² + 2x + 3 = (x + 1)² + 2 > 0\),
поэтому \(AM^2 - \dfrac{5}{4} \ge 0\). Равенство возможно только при x = 1. Следовательно, квадрат расстояния, а значит, и само расстояние минимально при x = 1.Тогда \(y = x^2 = 1\).Ответ: (1; 1).
\[AM^2 = (x - 2)^2 + \left(x^2 - \frac{1}{2}\right)^2 = x^4 - 4x + \frac{17}{4}.\]
Сравним это выражение с его значением при x = 1:\[AM^2 - \frac{5}{4} = x^4 - 4x + 3 = (x - 1)^2(x^2 + 2x + 3).\]
При этом\(x² + 2x + 3 = (x + 1)² + 2 > 0\),
поэтому \(AM^2 - \dfrac{5}{4} \ge 0\). Равенство возможно только при x = 1. Следовательно, квадрат расстояния, а значит, и само расстояние минимально при x = 1.Тогда \(y = x^2 = 1\).Ответ: (1; 1).
Рассмотрим вариант решения задания из учебника
Алимов, Колягин, Ткачёва 10-11 класс, Просвещение:
На параболе у = х2 найти точку, расстояние от которой до точки А (2; 1/2) является наименьшим.
