Упр.1518 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)
Решение #1
Решение #2
Решение #3ИИ
Варианты решения:
Найдите наибольшую площадь трапецииС пояснением
Пусть вершины второго основания имеют абсциссы −t и t, где \(0 < t \le 1\). Они лежат на одной горизонтальной прямой, поскольку основание AD горизонтально.1) Длина второго основания равна \(2t\), его ордината равна \(1 − t^2\). Поэтому высота трапеции равна \(2 − t^2\), а \(AD = 1\).2) Выразим площадь через t:
Кратко Пусть вершины второго основания имеют абсциссы \(-t\) и \(t\), где \(0 < t \le 1\). Тогда его длина равна \(2t\), высота трапеции — \(2 - t^2\).
\[S(t)=\frac{(1+2t)(2-t^2)}{2}.\]
\[S'(t)=2-t-3t^2=(2-3t)(t+1).\]
3) На промежутке \(0 < t \le 1\) производная положительна при \(t < 2/3\) и отрицательна при \(t > 2/3\). Значит, площадь наибольшая при \(t = 2/3\):\[S\left(\frac{2}{3}\right)=\frac{7}{3}\cdot\frac{14}{9}:2=\frac{49}{27}.\]
Ответ: \(49/27\).Кратко Пусть вершины второго основания имеют абсциссы \(-t\) и \(t\), где \(0 < t \le 1\). Тогда его длина равна \(2t\), высота трапеции — \(2 - t^2\).
\[S(t)=\frac{(1+2t)(2-t^2)}{2};\]
\[S'(t)=(2-3t)(t+1).\]
Площадь максимальна при \(t = 2/3\): \(S = (7/3) \cdot (14/9) : 2 = 49/27\).Ответ: \(49/27\).Так как AD — горизонтальное основание, второе основание также горизонтально. Его вершины на параболе имеют одинаковые ординаты, поэтому их абсциссы равны \(-t\) и \(t\), где \(0 < t \le 1\).Длина второго основания равна 2t, высота трапеции равна
\((1 - t^2) - (-1) = 2 - t^2\),
а \(AD = 1\). Следовательно,
\(\displaystyle S \le \frac{49}{27}\).Равенство достигается при \(3t - 2 = 0\), то есть при \(t = \frac{2}{3}\), которое входит в допустимый промежуток.Ответ: \(\frac{49}{27}\).
\((1 - t^2) - (-1) = 2 - t^2\),
а \(AD = 1\). Следовательно,
\[S = \frac{(1 + 2t)(2 - t^2)}{2}.\]
Докажем, что \(S \le \frac{49}{27}\):\[\frac{49}{27} - S = \frac{49}{27} - \frac{(1 + 2t)(2 - t^2)}{2}\]
\[= \frac{(3t - 2)^2(6t + 11)}{54}.\]
При 0 < t ≤ 1 имеем \(6t + 11 > 0\), поэтому полученное выражение неотрицательно. Значит,\(\displaystyle S \le \frac{49}{27}\).Равенство достигается при \(3t - 2 = 0\), то есть при \(t = \frac{2}{3}\), которое входит в допустимый промежуток.Ответ: \(\frac{49}{27}\).
Рассмотрим вариант решения задания из учебника
Алимов, Колягин, Ткачёва 10-11 класс, Просвещение:
На координатной плоскости даны точки Л (3; -1) и D (4; -1). Рассматриваются трапеции, у которых отрезок AD является одним из оснований, а вершины другого основания лежат на дуге параболы у = 1-х2, заданной на отрезке [-1; 1]. Среди этих трапеций выбрана та, которая имеет наибольшую площадь. Найти эту площадь.
