Упр.1511 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)
Решение #1
Решение #2
Решение #3ИИ
Варианты решения:
Найти наибольший объём цилиндраС пояснением
Пусть r — радиус основания, h — высота цилиндра. По условию:
\(2\pi r^{2} + 2\pi rh = 54\pi\), откуда \(h = \dfrac{27-r^{2}}{r}\).Выразим объём через радиус:
\(V(r) = \pi r^{2}h = \pi(27r-r^{3})\), где \(2 \le r \le 4\).Найдём производную:
\(V'(r) = \pi(27-3r^{2})\).
На отрезке \([2; 4]\) производная равна нулю при \(r = 3\). При \(2 \le r < 3\) она положительна, а при \(3 < r \le 4\) отрицательна. Значит, объём наибольший при \(r = 3\).\(V(3) = \pi(27 \cdot 3 - 3^3) = 54\pi\) см³.
Ответ: \(54\pi\) см³.
Кратко \(2\pi r^{2} + 2\pi rh = 54\pi\), поэтому \(h = \dfrac{27-r^{2}}{r}\).
\(V(r) = \pi(27r-r^{3})\), \(2 \le r \le 4\).
\(V'(r) = 3\pi(9-r^{2})\). Функция возрастает до \(r = 3\) и убывает после \(r = 3\).
\(V(3) = 54\pi\) см³.
Ответ: \(54\pi\) см³.
\(2\pi r^{2} + 2\pi rh = 54\pi\), откуда \(h = \dfrac{27-r^{2}}{r}\).Выразим объём через радиус:
\(V(r) = \pi r^{2}h = \pi(27r-r^{3})\), где \(2 \le r \le 4\).Найдём производную:
\(V'(r) = \pi(27-3r^{2})\).
На отрезке \([2; 4]\) производная равна нулю при \(r = 3\). При \(2 \le r < 3\) она положительна, а при \(3 < r \le 4\) отрицательна. Значит, объём наибольший при \(r = 3\).\(V(3) = \pi(27 \cdot 3 - 3^3) = 54\pi\) см³.
Ответ: \(54\pi\) см³.
Кратко \(2\pi r^{2} + 2\pi rh = 54\pi\), поэтому \(h = \dfrac{27-r^{2}}{r}\).
\(V(r) = \pi(27r-r^{3})\), \(2 \le r \le 4\).
\(V'(r) = 3\pi(9-r^{2})\). Функция возрастает до \(r = 3\) и убывает после \(r = 3\).
\(V(3) = 54\pi\) см³.
Ответ: \(54\pi\) см³.
Пусть r — радиус основания, h — высота цилиндра. Из условия о площади полной поверхности:
\[2\pi r^2 + 2\pi rh = 54\pi.\]
Отсюда\[h = \frac{27-r^2}{r}.\]
Тогда объём цилиндра\[V = \pi r^2h = \pi(27r-r^3).\]
Докажем, что \(V \le 54\pi\):\[54\pi - V = \pi(r^3 - 27r + 54) = \pi(r - 3)^2(r + 6).\]
При \(2 \le r \le 4\) имеем \((r - 3)^2 \ge 0\) и \(r + 6 > 0\), поэтому \(54\pi - V \ge 0\). Следовательно, \(V \le 54\pi\).Равенство достигается при \(r = 3\). Тогда \(h = \dfrac{27 - 9}{3} = 6\) см, то есть такой цилиндр существует и удовлетворяет ограничениям.Ответ: \(54\pi\) см³.
Рассмотрим вариант решения задания из учебника
Алимов, Колягин, Ткачёва 10-11 класс, Просвещение:
Найти наибольший возможный объём цилиндра, площадь полной поверхности которого равна 54пи см2, если известно, что радиус основания не меньше 2 см и не больше 4 см.
