Упр.1523 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)
Решение #1
Решение #2
Решение #3ИИ
Варианты решения:
Найти радиус цилиндра с наибольшей боковой поверхностьюС пояснением
Пусть r — радиус основания цилиндра, h — половина его высоты. Из осевого сечения получаем \(r^2 + h^2 = R^2\). Площадь боковой поверхности \(S = 2\pi r \cdot 2h = 4\pi rh\).
Так как \((r-h)^2 \ge 0\), то \(2rh \le r^2 + h^2 = R^2\). Значит, \(S \le 2\pi R^2\). Равенство достигается при r = h, откуда \(2r^2 = R^2\) и \(r = R\sqrt{2}/2\).
Ответ: \(R\sqrt{2}/2\).
Кратко Пусть \(r\) — радиус основания, \(h\) — половина высоты цилиндра. Тогда \(r^2+h^2=R^2\), а \(S = 4\pi rh\).
Из \((r-h)^2 \ge 0\) следует \(2rh \le R^2\). Максимум \(S\) достигается при \(r=h\), поэтому \(2r^2=R^2\) и \(r=R\sqrt{2}/2\).
Ответ: \(R\sqrt{2}/2\).
Так как \((r-h)^2 \ge 0\), то \(2rh \le r^2 + h^2 = R^2\). Значит, \(S \le 2\pi R^2\). Равенство достигается при r = h, откуда \(2r^2 = R^2\) и \(r = R\sqrt{2}/2\).
Ответ: \(R\sqrt{2}/2\).
Кратко Пусть \(r\) — радиус основания, \(h\) — половина высоты цилиндра. Тогда \(r^2+h^2=R^2\), а \(S = 4\pi rh\).
Из \((r-h)^2 \ge 0\) следует \(2rh \le R^2\). Максимум \(S\) достигается при \(r=h\), поэтому \(2r^2=R^2\) и \(r=R\sqrt{2}/2\).
Ответ: \(R\sqrt{2}/2\).
Рассмотрим осевое сечение цилиндра. Пусть α — угол между радиусом шара, проведённым к вершине этого сечения, и осью цилиндра. Тогда радиус основания цилиндра \(r = R\sin\alpha\), а половина его высоты равна R cos α. Поэтому высота цилиндра \(H = 2R\cos\alpha\).Площадь боковой поверхности:
\[S = 2\pi rH = 2\pi\cdot R\sin\alpha\cdot 2R\cos\alpha = 2\pi R^2\sin 2\alpha.\]
Наибольшее значение \(\sin 2\alpha\) равно \(1\) и достигается при \(2\alpha = 90^\circ\), то есть при \(\alpha = 45^\circ\). Следовательно,\[r = R\sin 45^\circ = \dfrac{R\sqrt{2}}{2}.\]
Ответ: \(R\sqrt{2}/2\).
Рассмотрим вариант решения задания из учебника
Алимов, Колягин, Ткачёва 10-11 класс, Просвещение:
Найти радиус основания цилиндра, вписанного в шар радиуса R и имеющего наибольшую площадь боковой поверхности.
