Упр.1519 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)
Решение #1
Решение #2
Решение #3ИИ
Варианты решения:
Найдите наибольшую площадь треугольникаС пояснением
Пусть \(A(-t; 4t^2)\) и \(B(t; 4t^2)\), где 0 < t ≤ 1. Середина AB лежит на оси Oy, поэтому K не может быть серединой этой стороны. Пусть K — середина AC. Тогда ордината третьей вершины C равна \(12 - 4t^2\).Основание AB равно 2t, а высота к нему равна \((12 - 4t^2) - 4t^2 = 12 - 8t^2\). Поэтому площадь
S(t) = ½ · 2t · (\(12 - 8t^2\)) = 12t − 8t³.Найдём максимум функции на промежутке 0 < t ≤ 1:
\(S′(t) = 12 − 24t^2 = 0\) при \(t = 1/\sqrt{2}\).
До этой точки производная положительна, после неё отрицательна. Значит, в ней площадь наибольшая:
Ответ: \(4\sqrt{2}\).
Кратко Пусть \(A(-t; 4t^2), B(t; 4t^2)\), где 0 < t ≤ 1, и K — середина AC. Тогда ордината C равна \(12 - 4t^2\), а высота к основанию AB равна \(12 - 8t^2\).
S(t) = ½ · 2t · (\(12 - 8t^2\)) = 12t − 8t³.
\(S′(t) = 12 − 24t^2\); максимум достигается при \(t = 1/\sqrt{2}\).
Smax = 4√2.
Ответ: \(4\sqrt{2}\).
S(t) = ½ · 2t · (\(12 - 8t^2\)) = 12t − 8t³.Найдём максимум функции на промежутке 0 < t ≤ 1:
\(S′(t) = 12 − 24t^2 = 0\) при \(t = 1/\sqrt{2}\).
До этой точки производная положительна, после неё отрицательна. Значит, в ней площадь наибольшая:
\[S\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right) = 4\sqrt{2}.\]
Если K — середина BC, получится симметричный треугольник с той же площадью.Ответ: \(4\sqrt{2}\).
Кратко Пусть \(A(-t; 4t^2), B(t; 4t^2)\), где 0 < t ≤ 1, и K — середина AC. Тогда ордината C равна \(12 - 4t^2\), а высота к основанию AB равна \(12 - 8t^2\).
S(t) = ½ · 2t · (\(12 - 8t^2\)) = 12t − 8t³.
\(S′(t) = 12 − 24t^2\); максимум достигается при \(t = 1/\sqrt{2}\).
Smax = 4√2.
Ответ: \(4\sqrt{2}\).
Пусть симметричные вершины имеют координаты \(A(-t; 4t^{2})\) и \(B(t; 4t^{2})\), где 0 < t ≤ 1. Точка K не может быть серединой AB, поскольку середина AB лежит на оси Oy.Пусть K — середина AC. Тогда
S = ½ · 2t · (12 − 8t²) = 12t − 8t³.Положим \(u = \sqrt{2}t\). Тогда
\[C = 2K - A = (6 + t; 12 - 4t^{2}).\]
Отрезок AB горизонтален, его длина равна 2t. Высота треугольника к основанию AB равна\[12 - 4t^{2} - 4t^{2} = 12 - 8t^{2}.\]
ПоэтомуS = ½ · 2t · (12 − 8t²) = 12t − 8t³.Положим \(u = \sqrt{2}t\). Тогда
\[S = 2\sqrt{2}(3u - u^{3}).\]
Докажем, что \(S \le 4\sqrt{2}\):\[4\sqrt{2} - S = 2\sqrt{2}(u^{3} - 3u + 2) = 2\sqrt{2}(u - 1)^{2}(u + 2) \ge 0.\]
Равенство достигается при \(u = 1\), то есть при \(t = \dfrac{1}{\sqrt{2}}\). Это значение принадлежит промежутку (0; 1]. Если K является серединой BC, по симметрии получается та же площадь.Ответ: \(4\sqrt{2}\).
Рассмотрим вариант решения задания из учебника
Алимов, Колягин, Ткачёва 10-11 класс, Просвещение:
На координатной плоскости дана точка К (3; 6). Рассматриваются треугольники, у которых две вершины симметричны относительно оси Оу и лежат на дуге параболы у = 4х2, заданной на отрезке [-1; 1], а точка К является серединой одной из сторон. Среди этих треугольников выбран тот, который имеет наибольшую площадь. Найти эту площадь.
