Упр.1516 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)
Решение #1
Решение #2
Решение #3ИИ
Варианты решения:
Найти наибольшую площадь треугольникаС пояснением
Пусть симметричные вершины треугольника — \(A(-t; 4t^2)\) и \(B(t; 4t^2)\), где \(0 < t \le 1\). Точка K не может быть серединой AB, поскольку середина этого отрезка лежит на оси Oy. Без ограничения общности пусть K — середина AC.Тогда \(C(6 + t; 12 - 4t^2)\). Основание AB равно 2t, а высота к нему равна 12 − 8t². Поэтому
S(t) = ½ · 2t · (12 − 8t²) = 12t − 8t³.\(S'(t) = 12 - 24t^2\). Производная положительна при \(0 < t < 1/\sqrt{2}\) и отрицательна при \(1/\sqrt{2} < t \le 1\). Значит, площадь максимальна при \(t = 1/\sqrt{2}\).
Кратко Пусть \(A(-t; 4t^2)\), \(B(t; 4t^2)\), где \(0 < t \leq 1\). Точка K не является серединой AB; пусть она — середина AC. Тогда \(C(6 + t; 12 - 4t^2)\).S(t) = ½ · 2t · (12 − 8t²) = 12t − 8t³.
\(S'(t) = 12 - 24t^2\). Площадь максимальна при t = 1/√2, откуда Smax = 4√2.
Ответ: \(4\sqrt{2}\).
S(t) = ½ · 2t · (12 − 8t²) = 12t − 8t³.\(S'(t) = 12 - 24t^2\). Производная положительна при \(0 < t < 1/\sqrt{2}\) и отрицательна при \(1/\sqrt{2} < t \le 1\). Значит, площадь максимальна при \(t = 1/\sqrt{2}\).
\[S\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right) = 4\sqrt{2}.\]
Ответ: \(4\sqrt{2}\).Кратко Пусть \(A(-t; 4t^2)\), \(B(t; 4t^2)\), где \(0 < t \leq 1\). Точка K не является серединой AB; пусть она — середина AC. Тогда \(C(6 + t; 12 - 4t^2)\).S(t) = ½ · 2t · (12 − 8t²) = 12t − 8t³.
\(S'(t) = 12 - 24t^2\). Площадь максимальна при t = 1/√2, откуда Smax = 4√2.
Ответ: \(4\sqrt{2}\).
Пусть симметричные вершины имеют координаты \(A(-t; 4t^2)\) и \(B(t; 4t^2)\), где 0 < t ≤ 1. Середина AB лежит на оси Oy, поэтому точка K(3; 6) не может быть серединой AB. Пусть K — середина AC.Из формулы координат середины отрезка получаем \(C(6 + t; 12 - 4t^2)\).Отрезок AB горизонтален, его длина равна 2t. Расстояние от C до прямой AB равно
\[(12 - 4t^2) - 4t^2 = 12 - 8t^2.\]
Следовательно,\[S = \frac{1}{2} \cdot 2t \cdot (12 - 8t^2) = 12t - 8t^3.\]
Докажем, что \(S \le 4\sqrt{2}\):\[4\sqrt{2} - S = 8t^3 - 12t + 4\sqrt{2}\]
\[= 8\left(t - \frac{1}{\sqrt{2}}\right)^2(t + \sqrt{2}) \ge 0.\]
Равенство достигается при \(t = \dfrac{1}{\sqrt{2}}\), причём это значение принадлежит промежутку (0; 1]. Поэтому наибольшая площадь равна \(4\sqrt{2}\).Ответ: \(4\sqrt{2}\).
Рассмотрим вариант решения задания из учебника
Алимов, Колягин, Ткачёва 10-11 класс, Просвещение:
1519 На координатной плоскости дана точка К (3; 6). Рассматриваются треугольники, у которых две вершины симметричны относительно оси Оу и лежат на дуге параболы у = 4х2, заданной на отрезке [-1; 1], а точка К является серединой одной из сторон. Среди этих треугольников выбран тот, который имеет наибольшую площадь. Найти эту площадь.
