Упр.1512 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)
Решение #1
Решение #2
Решение #3ИИ
Варианты решения:
Найдите сторону основания пирамидыС пояснением
Пусть \(AC = x\), тогда \(SO = 9 − x\), где \(1 ≤ x ≤ 8\). Основание пирамиды — равносторонний треугольник, поэтому его площадь равна \(\sqrt{3}·x²/4\).
Объём пирамиды:
\(\displaystyle V'(x) = \sqrt{3}\cdot x(6 − x)/4\).
На отрезке [1; 6] производная неотрицательна, а на [6; 8] неположительна. Значит, объём наибольший при \(x = 6\).
Ответ: 6.
Кратко Пусть \(AC = x\), тогда \(SO = 9 − x\), \(1 ≤ x ≤ 8\).
Производная меняет знак с плюса на минус при \(x = 6\), поэтому объём наибольший при \(x = 6\).
Ответ: 6.
Объём пирамиды:
\[V(x) = \frac{1}{3}\cdot\left(\frac{\sqrt{3}\cdot x^2}{4}\right)\cdot(9 - x) = \frac{\sqrt{3}\cdot x^2(9 - x)}{12}.\]
Найдём производную:\(\displaystyle V'(x) = \sqrt{3}\cdot x(6 − x)/4\).
На отрезке [1; 6] производная неотрицательна, а на [6; 8] неположительна. Значит, объём наибольший при \(x = 6\).
Ответ: 6.
Кратко Пусть \(AC = x\), тогда \(SO = 9 − x\), \(1 ≤ x ≤ 8\).
\[V(x) = \frac{\sqrt{3}\cdot x^2(9 - x)}{12};\]
\(\displaystyle V'(x) = \sqrt{3}\cdot x(6 − x)/4\).Производная меняет знак с плюса на минус при \(x = 6\), поэтому объём наибольший при \(x = 6\).
Ответ: 6.
Пусть \(AC = x\), тогда \(SO = 9 - x\), где \(1 \le x \le 8\). Объём правильной пирамиды равен
\[V = \frac{1}{3}\cdot\frac{\sqrt{3}x^{2}}{4}\cdot(9-x) = \frac{\sqrt{3}}{3}\cdot\frac{x}{2}\cdot\frac{x}{2}\cdot(9-x).\]
Сумма трёх положительных множителей постоянна:\[\frac{x}{2} + \frac{x}{2} + (9-x) = 9.\]
По неравенству о среднем арифметическом и среднем геометрическом их произведение максимально, когда все множители равны:\[\frac{x}{2} = 9-x.\]
Отсюда \(\dfrac{3x}{2} = 9\), поэтому \(x = 6\). Это значение принадлежит отрезку [1; 8].Ответ: 6.
Рассмотрим вариант решения задания из учебника
Алимов, Колягин, Ткачёва 10-11 класс, Просвещение:
В правильной пирамиде SABC из вершины S проведена высота SO. Найти сторону основания пирамиды, если объём пирамиды является наибольшим при условии, что SO + АС = 9 и 1 < =АС < =8.
