Упр.1510 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)
Решение #1
Решение #2
Решение #3ИИ
Варианты решения:
Найти радиус цилиндра наибольшего объёмаС пояснением
Пусть r дм — радиус основания, h дм — высота цилиндра. Осевое сечение — прямоугольник со сторонами 2r и h, поэтому
\(2(2r + h) = 6\), откуда \(h = 3 − 2r\). При этом \(0 < r < 1{,}5\).Объём цилиндра:
\(V'(r) = 6\pi r(1 - r)\).
На промежутке (0; 1) производная положительна, а на (1; 1,5) отрицательна. Значит, объём наибольший при \(r = 1\) дм.Ответ: 1 дм.
Кратко \(2(2r + h) = 6\), поэтому \(h = 3 − 2r\), \(0 < r < 1{,}5\).
\(V(r) = \pi r^2(3 − 2r)\), \(V′(r) = 6\pi r(1 − r)\).
Производная меняет знак с плюса на минус при \(r = 1\), значит, здесь объём максимален.
Ответ: 1 дм.
\(2(2r + h) = 6\), откуда \(h = 3 − 2r\). При этом \(0 < r < 1{,}5\).Объём цилиндра:
\[V(r) = \pi r^2(3 - 2r).\]
Найдём производную:\(V'(r) = 6\pi r(1 - r)\).
На промежутке (0; 1) производная положительна, а на (1; 1,5) отрицательна. Значит, объём наибольший при \(r = 1\) дм.Ответ: 1 дм.
Кратко \(2(2r + h) = 6\), поэтому \(h = 3 − 2r\), \(0 < r < 1{,}5\).
\(V(r) = \pi r^2(3 − 2r)\), \(V′(r) = 6\pi r(1 − r)\).
Производная меняет знак с плюса на минус при \(r = 1\), значит, здесь объём максимален.
Ответ: 1 дм.
Пусть r — радиус основания, h — высота цилиндра. Осевое сечение имеет стороны 2r и h, поэтому
\(\displaystyle \frac{r+r+h}{3} \ge \sqrt[3]{r^2h}\).Так как \(r+r+h=3\), получаем
\(\displaystyle 1 \ge \sqrt[3]{r^2h}\),
следовательно, \(r^2h\leq 1\).Объём \(V=\pi r^2h\), поэтому \(V\leq\pi\). Равенство достигается, когда \(r=r=h\). Тогда из \(2r+h=3\) следует \(3r=3\), откуда \(r=1\) дм.Ответ: 1 дм.
\[2(2r+h)=6,\]
то есть \(2r+h=3\).Для положительных чисел r, r и h по неравенству о среднем арифметическом и среднем геометрическом:\(\displaystyle \frac{r+r+h}{3} \ge \sqrt[3]{r^2h}\).Так как \(r+r+h=3\), получаем
\(\displaystyle 1 \ge \sqrt[3]{r^2h}\),
следовательно, \(r^2h\leq 1\).Объём \(V=\pi r^2h\), поэтому \(V\leq\pi\). Равенство достигается, когда \(r=r=h\). Тогда из \(2r+h=3\) следует \(3r=3\), откуда \(r=1\) дм.Ответ: 1 дм.
Рассмотрим вариант решения задания из учебника
Алимов, Колягин, Ткачёва 10-11 класс, Просвещение:
Периметр осевого сечения цилиндра 6 дм. При каком радиусе основания цилиндра его объём будет наибольшим?
