Упр.290 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)
Решение #1(Учебник 2025)
Решение #2 (Учебник 2025)ИИ
Докажите свойство середин отрезков между параллельными прямымиС пояснением
1) Проведём отрезок AB, перпендикулярный параллельным прямым a и b, где A ∈ a, B ∈ b. Пусть O — середина AB. Через O проведём прямую c, параллельную a и b.
2) Возьмём произвольные точки X ∈ a и Y ∈ b. Проведём XZ ⟂ a, где Z ∈ b. Тогда AB ∥ XZ и AX ∥ BZ, поэтому AB = XZ.
3) Пусть N — точка пересечения XZ и c. Четырёхугольник AONX — параллелограмм, поэтому XN = AO. Так как AO = AB : 2 и AB = XZ, точка N — середина XZ.
4) В треугольнике XYZ прямая c проходит через середину N стороны XZ и параллельна стороне ZY. Поэтому она пересекает сторону XY в её середине M.
5) Значит, середина любого отрезка XY лежит на прямой c. Эта прямая параллельна a и b. Так как O — середина общего перпендикуляра AB, прямая c равноудалена от a и b.
Ответ: все середины отрезков XY лежат на прямой c, параллельной a и b и равноудалённой от них.
Кратко Проведём AB ⟂ a, где A ∈ a, B ∈ b, и через середину O отрезка AB проведём c ∥ a. Для любого X ∈ a проведём XZ ⟂ a до пересечения с b. Прямая c пересекает XZ в его середине N. В треугольнике XYZ прямая через середину N стороны XZ, параллельная ZY, пересекает XY в его середине. Следовательно, середина каждого отрезка XY лежит на c. Поскольку O — середина общего перпендикуляра AB, прямая c равноудалена от a и b.
Ответ: середины всех отрезков XY лежат на прямой, параллельной a и b и равноудалённой от них.
2) Возьмём произвольные точки X ∈ a и Y ∈ b. Проведём XZ ⟂ a, где Z ∈ b. Тогда AB ∥ XZ и AX ∥ BZ, поэтому AB = XZ.
3) Пусть N — точка пересечения XZ и c. Четырёхугольник AONX — параллелограмм, поэтому XN = AO. Так как AO = AB : 2 и AB = XZ, точка N — середина XZ.
4) В треугольнике XYZ прямая c проходит через середину N стороны XZ и параллельна стороне ZY. Поэтому она пересекает сторону XY в её середине M.
5) Значит, середина любого отрезка XY лежит на прямой c. Эта прямая параллельна a и b. Так как O — середина общего перпендикуляра AB, прямая c равноудалена от a и b.
Ответ: все середины отрезков XY лежат на прямой c, параллельной a и b и равноудалённой от них.
Кратко Проведём AB ⟂ a, где A ∈ a, B ∈ b, и через середину O отрезка AB проведём c ∥ a. Для любого X ∈ a проведём XZ ⟂ a до пересечения с b. Прямая c пересекает XZ в его середине N. В треугольнике XYZ прямая через середину N стороны XZ, параллельная ZY, пересекает XY в его середине. Следовательно, середина каждого отрезка XY лежит на c. Поскольку O — середина общего перпендикуляра AB, прямая c равноудалена от a и b.
Ответ: середины всех отрезков XY лежат на прямой, параллельной a и b и равноудалённой от них.
Решение #3(Учебник 2023)
Решение #4 (Учебник 2023)ИИ
Построить прямоугольные треугольники по заданным элементамС пояснением
а) По двум катетам
1) Построим прямой угол с вершиной A.
2) На одной его стороне отложим отрезок AB, равный одному катету, а на другой — отрезок AC, равный второму катету.
3) Соединим точки B и C. Треугольник ABC — искомый, так как ∠A = 90°, а AB и AC равны заданным катетам.б) По катету и прилежащему к нему острому углу
1) Построим отрезок AB, равный заданному катету.
2) В точке B построим луч, перпендикулярный AB.
3) В точке A построим луч, образующий с AB заданный острый угол.
4) Обозначим точку пересечения построенных лучей буквой C. Треугольник ABC — искомый: ∠B = 90°, AB равен заданному катету, а ∠A равен заданному острому углу.Ответ: искомые прямоугольные треугольники ABC построены.
Кратко а) Постройте прямой угол с вершиной A. На его сторонах отложите заданные катеты AB и AC, затем соедините B и C.б) Постройте заданный катет AB. Через B проведите перпендикуляр к AB, а из A — луч под заданным острым углом к AB. Точку пересечения лучей обозначьте C.Ответ: ΔABC — искомый прямоугольный треугольник.
1) Построим прямой угол с вершиной A.
2) На одной его стороне отложим отрезок AB, равный одному катету, а на другой — отрезок AC, равный второму катету.
3) Соединим точки B и C. Треугольник ABC — искомый, так как ∠A = 90°, а AB и AC равны заданным катетам.б) По катету и прилежащему к нему острому углу
1) Построим отрезок AB, равный заданному катету.
2) В точке B построим луч, перпендикулярный AB.
3) В точке A построим луч, образующий с AB заданный острый угол.
4) Обозначим точку пересечения построенных лучей буквой C. Треугольник ABC — искомый: ∠B = 90°, AB равен заданному катету, а ∠A равен заданному острому углу.Ответ: искомые прямоугольные треугольники ABC построены.
Кратко а) Постройте прямой угол с вершиной A. На его сторонах отложите заданные катеты AB и AC, затем соедините B и C.б) Постройте заданный катет AB. Через B проведите перпендикуляр к AB, а из A — луч под заданным острым углом к AB. Точку пересечения лучей обозначьте C.Ответ: ΔABC — искомый прямоугольный треугольник.
Рассмотрим вариант решения задания из учебника
Атанасян, Бутузов 7-9 класс, Просвещение:
Задание учебника 2025 года
Прямые а и b параллельны. Докажите, что середины всех отрезков ХУ, где X принадлежит a, Y принадлежит b, лежат на прямой, параллельной прямым а и b и равноудалённой от этих прямых.
Задание учебника 2023 года
Постройте прямоугольный треугольник: а) по двум катетам; б) по катету и прилежащему к нему острому углу.
