Упр.1134 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)
Решение #1(Учебник 2025)
Решение #2 (Учебник 2025)ИИ
Доказать перпендикулярность векторов a и bС пояснением
1) Найдём скалярное произведение векторов:
(a, b) = x · (−y) + y · x = −xy + xy = 0.
2) Скалярное произведение ненулевых векторов равно нулю, значит, эти векторы перпендикулярны.Ответ: a ⟂ b.
Кратко a · b = x · (−y) + y · x = −xy + xy = 0.
Так как векторы ненулевые и их скалярное произведение равно нулю, то a ⟂ b.Ответ: a ⟂ b.
(a, b) = x · (−y) + y · x = −xy + xy = 0.
2) Скалярное произведение ненулевых векторов равно нулю, значит, эти векторы перпендикулярны.Ответ: a ⟂ b.
Кратко a · b = x · (−y) + y · x = −xy + xy = 0.
Так как векторы ненулевые и их скалярное произведение равно нулю, то a ⟂ b.Ответ: a ⟂ b.
Решение #3(Учебник 2023)
Решение #4 (Учебник 2023)ИИ
Доказать свойства диагоналей правильного десятиугольникаС пояснением
а) Центральный угол, соответствующий одной стороне правильного десятиугольника, равен 360° : 10 = 36°. Вершины A₂ и A₇ разделены пятью сторонами, поэтому ∠A₂OA₇ = 5 · 36° = 180°. Следовательно, A₂A₇ — диаметр окружности:
A₂A₇ = 2R.б) Так как B лежит на A₂A₇ и A₁A₄, то
∠A₁A₂B = ∠A₁A₂A₇ = 72°,
поскольку этот вписанный угол опирается на дугу A₁A₇ величиной 144°.Угол ∠BA₁A₂ = ∠A₄A₁A₂ опирается на дугу A₂A₄ величиной 72°, поэтому он равен 36°. Тогда
∠A₁BA₂ = 180° − 72° − 36° = 72°.
Значит, △A₁A₂B равнобедренный и A₁A₂ = A₁B.Аналогично:
∠BA₄A₇ = ∠A₁A₄A₇ = 72°,
∠BA₇A₄ = ∠A₂A₇A₄ = 36°,
поэтому ∠A₄BA₇ = 72°. Следовательно, △BA₄A₇ равнобедренный и BA₇ = A₄A₇.Таким образом,
∠BA₁A₂ = ∠BA₇A₄ = 36°,
∠A₁A₂B = ∠BA₄A₇ = 72°.
По двум углам △A₁A₂B ∼ △BA₄A₇.в) Хорда A₁A₂ стягивает центральный угол 36°, а хорда A₁A₄ — угол 108°. Поэтому
A₁A₂ = 2R sin 18°,
A₁A₄ = 2R sin 54° = 2R cos 36°.Из известных значений
sin 18° = (√5 − 1)/4,
cos 36° = (√5 + 1)/4
получаем:
A₁A₄ − A₁A₂ = 2R · ((√5 + 1)/4 − (√5 − 1)/4) = R.Ответ: а) A₂A₇ = 2R; б) △A₁A₂B ∼ △BA₄A₇, оба треугольника равнобедренные; в) A₁A₄ − A₁A₂ = R.
Кратко а) A₂ и A₇ — противоположные вершины правильного десятиугольника, поэтому A₂A₇ — диаметр:
A₂A₇ = 2R.б) По свойству вписанных углов:
∠BA₁A₂ = ∠BA₇A₄ = 36°,
∠A₁A₂B = ∠BA₄A₇ = 72°.
Следовательно, △A₁A₂B ∼ △BA₄A₇. В каждом из них два угла равны 72°, поэтому оба треугольника равнобедренные.в) A₁A₂ = 2R sin 18°, A₁A₄ = 2R cos 36°. Так как
sin 18° = (√5 − 1)/4, cos 36° = (√5 + 1)/4,
то
A₁A₄ − A₁A₂ = 2R · ((√5 + 1)/4 − (√5 − 1)/4) = R.Ответ: а) 2R; б) △A₁A₂B ∼ △BA₄A₇, треугольники равнобедренные; в) R.
A₂A₇ = 2R.б) Так как B лежит на A₂A₇ и A₁A₄, то
∠A₁A₂B = ∠A₁A₂A₇ = 72°,
поскольку этот вписанный угол опирается на дугу A₁A₇ величиной 144°.Угол ∠BA₁A₂ = ∠A₄A₁A₂ опирается на дугу A₂A₄ величиной 72°, поэтому он равен 36°. Тогда
∠A₁BA₂ = 180° − 72° − 36° = 72°.
Значит, △A₁A₂B равнобедренный и A₁A₂ = A₁B.Аналогично:
∠BA₄A₇ = ∠A₁A₄A₇ = 72°,
∠BA₇A₄ = ∠A₂A₇A₄ = 36°,
поэтому ∠A₄BA₇ = 72°. Следовательно, △BA₄A₇ равнобедренный и BA₇ = A₄A₇.Таким образом,
∠BA₁A₂ = ∠BA₇A₄ = 36°,
∠A₁A₂B = ∠BA₄A₇ = 72°.
По двум углам △A₁A₂B ∼ △BA₄A₇.в) Хорда A₁A₂ стягивает центральный угол 36°, а хорда A₁A₄ — угол 108°. Поэтому
A₁A₂ = 2R sin 18°,
A₁A₄ = 2R sin 54° = 2R cos 36°.Из известных значений
sin 18° = (√5 − 1)/4,
cos 36° = (√5 + 1)/4
получаем:
A₁A₄ − A₁A₂ = 2R · ((√5 + 1)/4 − (√5 − 1)/4) = R.Ответ: а) A₂A₇ = 2R; б) △A₁A₂B ∼ △BA₄A₇, оба треугольника равнобедренные; в) A₁A₄ − A₁A₂ = R.
Кратко а) A₂ и A₇ — противоположные вершины правильного десятиугольника, поэтому A₂A₇ — диаметр:
A₂A₇ = 2R.б) По свойству вписанных углов:
∠BA₁A₂ = ∠BA₇A₄ = 36°,
∠A₁A₂B = ∠BA₄A₇ = 72°.
Следовательно, △A₁A₂B ∼ △BA₄A₇. В каждом из них два угла равны 72°, поэтому оба треугольника равнобедренные.в) A₁A₂ = 2R sin 18°, A₁A₄ = 2R cos 36°. Так как
sin 18° = (√5 − 1)/4, cos 36° = (√5 + 1)/4,
то
A₁A₄ − A₁A₂ = 2R · ((√5 + 1)/4 − (√5 − 1)/4) = R.Ответ: а) 2R; б) △A₁A₂B ∼ △BA₄A₇, треугольники равнобедренные; в) R.
Рассмотрим вариант решения задания из учебника
Атанасян, Бутузов 7-9 класс, Просвещение:
Задание учебника 2025 года
Докажите, что ненулевые векторы а {х; у) и b {-у; х} перпендикулярны.
Задание учебника 2023 года
Диагонали А1А4 и А2А7 правильного десятиугольника A1A2...A10, вписанного в окружность радиуса R, пересекаются в точке В (рис. 319). Докажите, что: a) A2A7 = 2R; б) АА1А2В и АВА40 — подобные равнобедренные треугольники; в) А1А4-А1А2 = R.
