Упр.739 ГДЗ Мерзляк Полонский 7 класс (Алгебра)
Решение #1(Учебник 2025)
Решение #2(Учебник 2025)
Решение #3 (Учебник 2025)ИИ
Варианты решения:
Докажите тождество ЛагранжаС пояснением
Раскроем скобки в левой части и приведём подобные слагаемые:
Сгруппируем слагаемые по формуле квадрата разности:
\(= (an − bm)^2 + (ak − cm)^2 + (bk − cn)^2\).
Получили правую часть тождества.
Ответ: тождество доказано.
Кратко Раскроем скобки и приведём подобные слагаемые в левой части:
Ответ: тождество доказано.
\((a^2 + b^2 + c^2)(m^2 + n^2 + k^2) − (am + bn + ck)^2 =\)
\(= a^2n^2 + b^2m^2 − 2abmn + a^2k^2 + c^2m^2 − 2acmk + b^2k^2 + c^2n^2 − 2bcnk\).Сгруппируем слагаемые по формуле квадрата разности:
\(= (an − bm)^2 + (ak − cm)^2 + (bk − cn)^2\).
Получили правую часть тождества.
Ответ: тождество доказано.
Кратко Раскроем скобки и приведём подобные слагаемые в левой части:
\((a^2 + b^2 + c^2)(m^2 + n^2 + k^2) − (am + bn + ck)^2 =\)
\(= a^2n^2 + b^2m^2 − 2abmn + a^2k^2 + c^2m^2 − 2acmk + b^2k^2 + c^2n^2 − 2bcnk =\)
\(= (an − bm)^2 + (ak − cm)^2 + (bk − cn)^2\).Ответ: тождество доказано.
Сначала докажем вспомогательное тождество:
\((x^2 + y^2)(u^2 + v^2) − (xu + yv)^2 = (xv − yu)^2\).
Действительно,
\((a^2 + b^2)(m^2 + n^2) − (am + bn)^2 = (an − bm)^2\).Оставшуюся часть представим как сумму двух квадратов:
\(E = (an − bm)^2 + (ak − cm)^2 + (bk − cn)^2\).
Тождество доказано.
\((x^2 + y^2)(u^2 + v^2) − (xu + yv)^2 = (xv − yu)^2\).
Действительно,
\((x^2 + y^2)(u^2 + v^2) − (xu + yv)^2 =\)
\(= x^2v^2 + y^2u^2 − 2xyuv = (xv − yu)^2\).Обозначим доказываемую левую часть через E. Выделим в ней слагаемые, содержащие c и k:\(E = [(a^2 + b^2)(m^2 + n^2) − (am + bn)^2] +\)
\(+ (a^2 + b^2)k^2 + c^2(m^2 + n^2) − 2ck(am + bn)\).По вспомогательному тождеству\((a^2 + b^2)(m^2 + n^2) − (am + bn)^2 = (an − bm)^2\).Оставшуюся часть представим как сумму двух квадратов:
\((a^2 + b^2)k^2 + c^2(m^2 + n^2) − 2ck(am + bn) =\)
\(= (a^2k^2 + c^2m^2 − 2akcm) + (b^2k^2 + c^2n^2 − 2bkcn) =\)
\(= (ak − cm)^2 + (bk − cn)^2\).Следовательно,\(E = (an − bm)^2 + (ak − cm)^2 + (bk − cn)^2\).
Тождество доказано.
Решение #4(Учебник 2021)
Решение #5(Учебник 2021)
Рассмотрим вариант решения задания из учебника
Мерзляк, Полонская, Якир 7 класс, Вентана-Граф:
Задание учебника 2025 года
(Тождество Ж.Л. Лагранжа.) Докажите тождество:
(а2 + b2 + с2) (m2 + n2 + k2) - (am + bn + ck)2 = = (an - bm)2 + (ak - cm)2 + (bk - cn)2.
Задание учебника 2021 года
Разложите на множители:
1)х4-5х2+4;
2) х4 + х2 + 1;
3) 4х4 -12х2 + 1;
4) х5 + х + 1;
5) х4 + 4;
6)х8+х4-2.
