Упр.738 ГДЗ Мерзляк Полонский 7 класс (Алгебра)
Решение #1(Учебник 2025)
Решение #2(Учебник 2025)
Решение #3 (Учебник 2025)ИИ
Варианты решения:
Докажите тождество и объясните связь с правилом ПифагораС пояснением
Раскроем квадрат разности выражений в правой и левой частях:
\((2n^2 + 2n + 1)^2 − (2n^2 + 2n)^2 = 2(2n^2 + 2n) + 1 = 4n^2 + 4n + 1 = (2n + 1)^2\).
Значит, \((2n + 1)^2 + (2n^2 + 2n)^2 = (2n^2 + 2n + 1)^2\). Тождество доказано.
При натуральном \(n\) числа \(2n + 1\), \(2n^2 + 2n\) и \(2n^2 + 2n + 1\) положительны. По обратной теореме Пифагора это длины сторон прямоугольного треугольника: первые два числа — катеты, третье — гипотенуза. Например, при \(n = 1\) получаем стороны 3, 4 и 5.
Ответ: тождество даёт правило получения целочисленных сторон прямоугольного треугольника.
Кратко \((2n^2 + 2n + 1)^2 − (2n^2 + 2n)^2 = 2(2n^2 + 2n) + 1 = 4n^2 + 4n + 1 = (2n + 1)^2\). Тождество доказано.
При натуральном n первые два выражения дают длины катетов, а третье — гипотенузы. Например, при n = 1 получаем 3, 4 и 5.
Ответ: тождество позволяет получать целочисленные стороны прямоугольного треугольника.
\((2n^2 + 2n + 1)^2 − (2n^2 + 2n)^2 = 2(2n^2 + 2n) + 1 = 4n^2 + 4n + 1 = (2n + 1)^2\).
Значит, \((2n + 1)^2 + (2n^2 + 2n)^2 = (2n^2 + 2n + 1)^2\). Тождество доказано.
При натуральном \(n\) числа \(2n + 1\), \(2n^2 + 2n\) и \(2n^2 + 2n + 1\) положительны. По обратной теореме Пифагора это длины сторон прямоугольного треугольника: первые два числа — катеты, третье — гипотенуза. Например, при \(n = 1\) получаем стороны 3, 4 и 5.
Ответ: тождество даёт правило получения целочисленных сторон прямоугольного треугольника.
Кратко \((2n^2 + 2n + 1)^2 − (2n^2 + 2n)^2 = 2(2n^2 + 2n) + 1 = 4n^2 + 4n + 1 = (2n + 1)^2\). Тождество доказано.
При натуральном n первые два выражения дают длины катетов, а третье — гипотенузы. Например, при n = 1 получаем 3, 4 и 5.
Ответ: тождество позволяет получать целочисленные стороны прямоугольного треугольника.
Рассмотрим квадрат со стороной \(2n^2 + 2n + 1\). В одном его углу выделим квадрат со стороной \(2n^2 + 2n\). Оставшаяся Г-образная полоса состоит из двух прямоугольников шириной 1 и квадрата 1 × 1. Поэтому её площадь равна
2(\(2n^2 + 2n\)) + 1 = 4n² + 4n + 1 = (2n + 1)².
Значит, площадь большого квадрата равна сумме площадей квадратов со сторонами \(2n^2 + 2n\) и 2n + 1:
(\(2n^2 + 2n + 1\))² = (\(2n^2 + 2n\))² + (2n + 1)².
Тождество доказано.При натуральном n все три числа положительны. Равенство квадратов показывает, что квадрат на стороне \(2n^2 + 2n + 1\) равен сумме квадратов на сторонах 2n + 1 и \(2n^2 + 2n\). По обратной теореме Пифагора эти числа могут быть длинами сторон прямоугольного треугольника: 2n + 1 и \(2n^2 + 2n\) — катеты, \(2n^2 + 2n + 1\) — гипотенуза. Например, при n = 1 получаются стороны 3, 4 и 5.
2(\(2n^2 + 2n\)) + 1 = 4n² + 4n + 1 = (2n + 1)².
Значит, площадь большого квадрата равна сумме площадей квадратов со сторонами \(2n^2 + 2n\) и 2n + 1:
(\(2n^2 + 2n + 1\))² = (\(2n^2 + 2n\))² + (2n + 1)².
Тождество доказано.При натуральном n все три числа положительны. Равенство квадратов показывает, что квадрат на стороне \(2n^2 + 2n + 1\) равен сумме квадратов на сторонах 2n + 1 и \(2n^2 + 2n\). По обратной теореме Пифагора эти числа могут быть длинами сторон прямоугольного треугольника: 2n + 1 и \(2n^2 + 2n\) — катеты, \(2n^2 + 2n + 1\) — гипотенуза. Например, при n = 1 получаются стороны 3, 4 и 5.
Решение #4(Учебник 2021)
Решение #5(Учебник 2021)
Рассмотрим вариант решения задания из учебника
Мерзляк, Полонская, Якир 7 класс, Вентана-Граф:
Задание учебника 2025 года
Докажите тождество:
(2n +1)2 + (2n2 + 2n)2 = (2n2 +2n + 1)2.
Данное тождество является правилом великого древнегреческого учёного Пифагора (VT в. до н. э.) для вычисления целочисленных значений длин сторон прямоугольного треугольника. При одних и тех же натуральных значениях n значения выражений 2n + 1; 2n2 + 2n; 2n1 + 2n + 1 являются длинами сторон прямоугольного треугольника.
Задание учебника 2021 года
Докажите, что при любом натуральном n значение выражения (2n - 1)3 - 4а2 + 2n + 1 делится нацело на 16.
