Упр.740 ГДЗ Мерзляк Полонский 7 класс (Алгебра)
Решение #1(Учебник 2025)
Решение #2(Учебник 2025)
Решение #3 (Учебник 2025)ИИ
Варианты решения:
Докажите, что сумма квадратов не является квадратомС пояснением
Обозначим среднее из пяти чисел через n. Тогда сумма их квадратов равна
\((n − 2)^2 + (n − 1)^2 + n^2 + (n + 1)^2 + (n + 2)^2 = 5(n^2 + 2)\).
Предположим, что эта сумма — квадрат натурального числа. Он делится на \(5\), значит, само число тоже делится на \(5\): квадрат числа, не делящегося на \(5\), не делится на \(5\). Следовательно, сумма делится на \(25\), а число \(n^2 + 2\) — на \(5\).
Но при делении \(n\) на \(5\) возможны остатки \(0\), \(1\), \(2\), \(3\), \(4\). Поэтому квадрат \(n^2\) может дать остаток \(0\), \(1\) или \(4\), а число \(n^2 + 2\) — остаток \(2\), \(3\) или \(1\). Оно не делится на \(5\). Получили противоречие.
Ответ: сумма не может быть квадратом натурального числа.
Кратко Пусть \(n\) — среднее число. Тогда сумма квадратов равна \(5(n^2 + 2)\).
Если бы она была квадратом натурального числа, то это число делилось бы на \(5\), а его квадрат — на \(25\). Значит, \(n^2 + 2\) делилось бы на \(5\). Но остаток \(n^2\) при делении на \(5\) равен \(0\), \(1\) или \(4\), поэтому \(n^2 + 2\) на \(5\) не делится. Противоречие.
Ответ: сумма не может быть квадратом натурального числа.
\((n − 2)^2 + (n − 1)^2 + n^2 + (n + 1)^2 + (n + 2)^2 = 5(n^2 + 2)\).
Предположим, что эта сумма — квадрат натурального числа. Он делится на \(5\), значит, само число тоже делится на \(5\): квадрат числа, не делящегося на \(5\), не делится на \(5\). Следовательно, сумма делится на \(25\), а число \(n^2 + 2\) — на \(5\).
Но при делении \(n\) на \(5\) возможны остатки \(0\), \(1\), \(2\), \(3\), \(4\). Поэтому квадрат \(n^2\) может дать остаток \(0\), \(1\) или \(4\), а число \(n^2 + 2\) — остаток \(2\), \(3\) или \(1\). Оно не делится на \(5\). Получили противоречие.
Ответ: сумма не может быть квадратом натурального числа.
Кратко Пусть \(n\) — среднее число. Тогда сумма квадратов равна \(5(n^2 + 2)\).
Если бы она была квадратом натурального числа, то это число делилось бы на \(5\), а его квадрат — на \(25\). Значит, \(n^2 + 2\) делилось бы на \(5\). Но остаток \(n^2\) при делении на \(5\) равен \(0\), \(1\) или \(4\), поэтому \(n^2 + 2\) на \(5\) не делится. Противоречие.
Ответ: сумма не может быть квадратом натурального числа.
Квадрат чётного числа делится на 4, а квадрат нечётного числа при делении на 4 даёт остаток 1.Среди пяти последовательных натуральных чисел либо два нечётных числа и три чётных, либо три нечётных и два чётных. Поэтому сумма их квадратов при делении на 4 даёт остаток соответственно 2 или 3.Но квадрат любого натурального числа при делении на 4 может давать только остаток 0 или 1. Следовательно, данная сумма не может быть квадратом натурального числа.
Решение #4(Учебник 2021)
Решение #5(Учебник 2021)
Рассмотрим вариант решения задания из учебника
Мерзляк, Полонская, Якир 7 класс, Вентана-Граф:
Задание учебника 2025 года
Докажите, что сумма квадратов пяти последовательных натуральных чисел не может являться квадратом натурального числа.
Задание учебника 2021 года
Представьте в виде произведения выражение:
1) х4 + 5х 2 + 9;
2) х4 - 8х2 + 4.
