Упр.6.45 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)
Решение #1
Рассмотрим вариант решения задания из учебника Погорелов 8 класс, Просвещение:
45. В квадрат (рис. 146) вписан прямоугольник так, что на каждой стороне квадрата находится одна вершина прямоугольника и стороны прямоугольника параллельны диагоналям квадрата. Найдите стороны прямоугольника, зная, что одна из них вдвое больше другой и что диагональ квадрата равна 12 м.
Дано: в квадрат вписан прямоугольник так, что на каждой стороне
квадрата лежит одна вершина прямоугольника, а стороны прямоу-
гольника параллельны диагоналям квадрата; одна сторона прямоу-
гольника вдвое больше другой; диагональ квадрата равна 12 м;
Найти: стороны прямоугольника;
Решение:
1) Пусть ABCD-данный квадрат, EFGH-вписанный в него прямоу-
гольник, а M, K-точки пересечения диагонали AC и сторон EFGH;
2) По свойтсвам квадрата:
угол FAK = углу KAE = углу GCM = углу MCH (так как AC-биссектриса угол A и угол C);
AC перпендикулярен BD, а так как GH||BD (по условию), то AC перпендикулярен GH;
3) Рассмотрим прямоугольный треугольник GCH:
MC-высота и биссектриса, следовательно треугольник GCH-равнобедренный
с основанием GH, отсюда MG=MC=MH;
4) Аналогично для треугольник FAE доказывается, что FK=AK=ME;
5) Так как FE=GH, GM=MH и FK=FE, то AK=MC;
6) GH=GM+MH=MC+AK;
7) FGMK является прямоугольником, так как его стороны FK и GM
параллельны прямой BD, которая перпедикулярна прямой AC, отсюда
FG=KM;
8) Примем x за единичный отрезок, тогда:
GH=MC+AK=x и FG=KM=2x;
9) AC=MC+AK+KM=x+2x=3x;
3x=12, отсюда x=12/3=4 м;
10) FE=GH=4 м и EH=FG=2•4=8 м;
Ответ: 4 м и 8 м.
*размещая тексты в комментариях ниже, вы автоматически соглашаетесь с пользовательским соглашением