Упр.1415 ГДЗ Мерзляк Полонский 7 класс (Алгебра)
Решение #1(Учебник 2025)
Решение #2(Учебник 2025)
Решение #3 (Учебник 2025)ИИ
Варианты решения:
Докажите делимость разности на 3С пояснением
Пусть n — натуральное число, не кратное 3. Тогда при делении n на 3 остаток равен 1 или 2.
1) Если \(n = 3k + 1\), то \(n^2 − 1 = (3k + 1)^2 − 1 = 9k^2 + 6k = 3(3k^2 + 2k)\).
2) Если \(n = 3k + 2\), то \(n^2 − 1 = (3k + 2)^2 − 1 = 9k^2 + 12k + 3 = 3(3k^2 + 4k + 1)\).
В обоих случаях \(n^2 − 1\) представлено как произведение 3 на целое число.
Ответ: \(n^2 − 1\) кратно 3.
Кратко Число n, не кратное 3, имеет вид 3k + 1 или 3k + 2.
1) \((3k + 1)^2 − 1 = 3(3k^2 + 2k)\).
2) \((3k + 2)^2 − 1 = 3(3k^2 + 4k + 1)\).
Ответ: в обоих случаях \(n^2 − 1\) кратно 3.
1) Если \(n = 3k + 1\), то \(n^2 − 1 = (3k + 1)^2 − 1 = 9k^2 + 6k = 3(3k^2 + 2k)\).
2) Если \(n = 3k + 2\), то \(n^2 − 1 = (3k + 2)^2 − 1 = 9k^2 + 12k + 3 = 3(3k^2 + 4k + 1)\).
В обоих случаях \(n^2 − 1\) представлено как произведение 3 на целое число.
Ответ: \(n^2 − 1\) кратно 3.
Кратко Число n, не кратное 3, имеет вид 3k + 1 или 3k + 2.
1) \((3k + 1)^2 − 1 = 3(3k^2 + 2k)\).
2) \((3k + 2)^2 − 1 = 3(3k^2 + 4k + 1)\).
Ответ: в обоих случаях \(n^2 − 1\) кратно 3.
Используем формулу разности квадратов:
\(n^2 − 1 = (n − 1)(n + 1)\).Числа n − 1, n и n + 1 — три последовательных целых числа, поэтому одно из них кратно 3. По условию n не кратно 3, значит, на 3 делится либо n − 1, либо n + 1. Следовательно, произведение (n − 1)(n + 1) делится на 3.Значит, \(n^2 − 1\) кратно \(3\), что и требовалось доказать.
\(n^2 − 1 = (n − 1)(n + 1)\).Числа n − 1, n и n + 1 — три последовательных целых числа, поэтому одно из них кратно 3. По условию n не кратно 3, значит, на 3 делится либо n − 1, либо n + 1. Следовательно, произведение (n − 1)(n + 1) делится на 3.Значит, \(n^2 − 1\) кратно \(3\), что и требовалось доказать.
Рассмотрим вариант решения задания из учебника
Мерзляк, Полонская, Якир 7 класс, Вентана-Граф:
Задание учебника 2025 года
Докажите, что разность между квадратом натурального числа, не кратного 3, и числом 1 кратна 3.
