Упр.1409 ГДЗ Мерзляк Полонский 7 класс (Алгебра)
Решение #1(Учебник 2025)
Решение #2(Учебник 2025)
Решение #3 (Учебник 2025)ИИ
Варианты решения:
Докажите делимость выражения на 18 и 36С пояснением
Сгруппируем слагаемые и вынесем общие множители:
Кратко \(17^{10} − 3 · 7^{24} + 3 · 7^{25} + 17^9 = 18 · (17^9 + 7^{24})\).
Числа \(17^9\) и \(7^{24}\) нечётные, поэтому их сумма чётная. Следовательно, выражение делится на 18 и на \(18 · 2 = 36\).
Ответ: делится на 18 и на 36.
\(17^{10} + 17^9 − 3 · 7^{24} + 3 · 7^{25} =\)
\(= 17^9 · (17 + 1) + 3 · 7^{24} · (7 − 1) =\)
\(= 18 · 17^9 + 18 · 7^{24} = 18 · (17^9 + 7^{24})\).Выражение делится на 18, так как записано в виде произведения с множителем 18. Числа \(17^9\) и \(7^{24}\) нечётные, поэтому их сумма чётная. Значит, вторая скобка делится на 2, а всё произведение — на \(18 · 2 = 36\).Ответ: выражение делится на 18 и на 36.Кратко \(17^{10} − 3 · 7^{24} + 3 · 7^{25} + 17^9 = 18 · (17^9 + 7^{24})\).
Числа \(17^9\) и \(7^{24}\) нечётные, поэтому их сумма чётная. Следовательно, выражение делится на 18 и на \(18 · 2 = 36\).
Ответ: делится на 18 и на 36.
Найдём остатки степеней при делении на 36.\(17^2 = 289 = 36 \cdot 8 + 1\), поэтому \(17^{10} = (17^2)^5\) даёт остаток 1, а \(17^9 = 17 \cdot (17^2)^4\) — остаток 17.\(7^3 = 343 = 36 \cdot 9 + 19\). Тогда при делении \(7^6 = (7^3)^2\) на 36 остаток равен остатку от числа \(19^2 = 361 = 36 \cdot 10 + 1\), то есть 1. Поэтому \(7^{24} = (7^6)^4\) даёт остаток 1, а \(7^{25} = 7 \cdot 7^{24}\) — остаток 7.Следовательно, исходное выражение при делении на 36 имеет такой же остаток, как
\(1 - 3 \cdot 1 + 3 \cdot 7 + 17 = 36\).
Значит, остаток равен 0, поэтому выражение делится на 36. Так как 36 делится на 18, данное выражение делится и на 18.Ответ: выражение делится нацело и на 18, и на 36.
\(1 - 3 \cdot 1 + 3 \cdot 7 + 17 = 36\).
Значит, остаток равен 0, поэтому выражение делится на 36. Так как 36 делится на 18, данное выражение делится и на 18.Ответ: выражение делится нацело и на 18, и на 36.
Рассмотрим вариант решения задания из учебника
Мерзляк, Полонская, Якир 7 класс, Вентана-Граф:
Задание учебника 2025 года
Докажите, что значение выражения 17^10 - 3 * 7^24 + 3 * 7^25 + 17^9 делится нацело: 1) на 18; 2) на 36.
