Упр.1413 ГДЗ Мерзляк Полонский 7 класс (Алгебра)
Решение #1(Учебник 2025)
Решение #2(Учебник 2025)
Решение #3 (Учебник 2025)ИИ
Варианты решения:
Докажите, что выражение является квадратом натурального числаС пояснением
Сгруппируем первый множитель с последним, а два средних — друг с другом:n(n + 1)(n + 2)(n + 3) + 1 =
Ответ: выражение равно квадрату натурального числа \(n^2 + 3n + 1\).
Кратко n(n + 1)(n + 2)(n + 3) + 1 =
Ответ: выражение является квадратом натурального числа.
\(= (n^2 + 3n)(n^2 + 3n + 2) + 1 =\)
\(= (n^2 + 3n)^2 + 2(n^2 + 3n) + 1 =\)
\(= (n^2 + 3n + 1)^2\).При натуральном \(n\) число \(n^2 + 3n + 1\) тоже натуральное.Ответ: выражение равно квадрату натурального числа \(n^2 + 3n + 1\).
Кратко n(n + 1)(n + 2)(n + 3) + 1 =
\(= (n^2 + 3n)(n^2 + 3n + 2) + 1 =\)
\(= (n^2 + 3n + 1)^2\).При натуральном \(n\) число \(n^2 + 3n + 1\) натуральное.Ответ: выражение является квадратом натурального числа.
Пусть \(a = n(n + 3)\). Тогда
\((n + 1)(n + 2) = n^2 + 3n + 2 = a + 2\).Произведение n(n + 1)(n + 2)(n + 3) можно представить как площадь прямоугольника со сторонами a и a + 2. Разделим его на квадрат со стороной a и две полосы размером a × 1. Если добавить единичный квадрат, эти части составят квадрат со стороной a + 1.Следовательно,
\(n(n + 1)(n + 2)(n + 3) + 1 = (a + 1)^2 = (n(n + 3) + 1)^2 = (n^2 + 3n + 1)^2\).При натуральном \(n\) число \(n^2 + 3n + 1\) натуральное. Значит, данное выражение равно квадрату натурального числа.
\((n + 1)(n + 2) = n^2 + 3n + 2 = a + 2\).Произведение n(n + 1)(n + 2)(n + 3) можно представить как площадь прямоугольника со сторонами a и a + 2. Разделим его на квадрат со стороной a и две полосы размером a × 1. Если добавить единичный квадрат, эти части составят квадрат со стороной a + 1.Следовательно,
\(n(n + 1)(n + 2)(n + 3) + 1 = (a + 1)^2 = (n(n + 3) + 1)^2 = (n^2 + 3n + 1)^2\).При натуральном \(n\) число \(n^2 + 3n + 1\) натуральное. Значит, данное выражение равно квадрату натурального числа.
Рассмотрим вариант решения задания из учебника
Мерзляк, Полонская, Якир 7 класс, Вентана-Граф:
Задание учебника 2025 года
Докажите, что при любом натуральном значении n значение выражения n(n + 1)(n + 2)(n + 3) + 1 равно квадрату некоторого натурального числа.
