Упр.1416 ГДЗ Мерзляк Полонский 7 класс (Алгебра)
Решение #1(Учебник 2025)
Решение #2(Учебник 2025)
Решение #3 (Учебник 2025)ИИ
Варианты решения:
Докажите делимость \(n^4 - 1\) на 5С пояснением
Разложим выражение на множители:
\(n^4 - 1 = (n - 1)(n + 1)(n^2 + 1)\).Среди пяти последовательных целых чисел n − 2, n − 1, n, n + 1, n + 2 одно делится на 5. По условию это не n.Если на 5 делится \(n - 1\) или \(n + 1\), то на 5 делится и всё произведение. Если же на 5 делится \(n - 2\) или \(n + 2\), то на 5 делится число \(n^2 + 1\), так как
\(n^2 + 1 = (n - 2)(n + 2) + 5\).Ответ: \(n^4 - 1\) делится на 5 при любом натуральном \(n\), не кратном 5.
Кратко \(n^4 - 1 = (n - 1)(n + 1)(n^2 + 1)\).Одно из пяти последовательных чисел n − 2, n − 1, n, n + 1, n + 2 делится на 5. По условию это не n. Если на 5 делится n − 1 или n + 1, то делится и произведение. Если же на 5 делится n − 2 или n + 2, то на 5 делится множитель \(n^2 + 1 = (n - 2)(n + 2) + 5\).Ответ: \(n^4 - 1\) делится на 5.
\(n^4 - 1 = (n - 1)(n + 1)(n^2 + 1)\).Среди пяти последовательных целых чисел n − 2, n − 1, n, n + 1, n + 2 одно делится на 5. По условию это не n.Если на 5 делится \(n - 1\) или \(n + 1\), то на 5 делится и всё произведение. Если же на 5 делится \(n - 2\) или \(n + 2\), то на 5 делится число \(n^2 + 1\), так как
\(n^2 + 1 = (n - 2)(n + 2) + 5\).Ответ: \(n^4 - 1\) делится на 5 при любом натуральном \(n\), не кратном 5.
Кратко \(n^4 - 1 = (n - 1)(n + 1)(n^2 + 1)\).Одно из пяти последовательных чисел n − 2, n − 1, n, n + 1, n + 2 делится на 5. По условию это не n. Если на 5 делится n − 1 или n + 1, то делится и произведение. Если же на 5 делится n − 2 или n + 2, то на 5 делится множитель \(n^2 + 1 = (n - 2)(n + 2) + 5\).Ответ: \(n^4 - 1\) делится на 5.
Так как n не кратно 5, его можно представить в виде \(n = 5k + r\), где r равно 1, 2, 3 или 4.Разность \(n^4 − r^4\) делится на 5, поскольку
\(n^4 − r^4 = (n − r)(n + r)(n^2 + r^2)\),
а \(n − r = 5k\).Проверим \(r^4 − 1\):
\(1^4 − 1 = 0\);
\(2^4 − 1 = 15\);
\(3^4 − 1 = 80\);
\(4^4 − 1 = 255\).
Все эти числа делятся на 5.Следовательно,
\(n^4 − r^4 = (n − r)(n + r)(n^2 + r^2)\),
а \(n − r = 5k\).Проверим \(r^4 − 1\):
\(1^4 − 1 = 0\);
\(2^4 − 1 = 15\);
\(3^4 − 1 = 80\);
\(4^4 − 1 = 255\).
Все эти числа делятся на 5.Следовательно,
\(n^4 − 1 = (n^4 − r^4) + (r^4 − 1)\)
как сумма двух чисел, делящихся на 5, также делится на 5.
Рассмотрим вариант решения задания из учебника
Мерзляк, Полонская, Якир 7 класс, Вентана-Граф:
Задание учебника 2025 года
Докажите, что при любом натуральном значении n, не кратном 5, значение выражения n4 - 1 делится нацело на 5.
