Упр.1417 ГДЗ Мерзляк Полонский 7 класс (Алгебра)
Решение #1(Учебник 2025)
Решение #2(Учебник 2025)
Решение #3 (Учебник 2025)ИИ
Варианты решения:
Делится ли \(n^5 + 2n\) на 3?С пояснением
Представим выражение в виде суммы:
\(n^5 + 2n = n^5 - n + 3n = n(n - 1)(n + 1)(n^2 + 1) + 3n\).
Среди трёх последовательных чисел n − 1, n, n + 1 одно делится на 3. Поэтому первое слагаемое делится на 3; второе слагаемое 3n тоже делится на 3.
Ответ: да, выражение делится на 3 при любом натуральном n.
Кратко \(n^5 + 2n = n(n - 1)(n + 1)(n^2 + 1) + 3n\).
Произведение трёх последовательных чисел (n − 1)n(n + 1) делится на 3, как и слагаемое 3n.
Ответ: да, при любом натуральном n.
\(n^5 + 2n = n^5 - n + 3n = n(n - 1)(n + 1)(n^2 + 1) + 3n\).
Среди трёх последовательных чисел n − 1, n, n + 1 одно делится на 3. Поэтому первое слагаемое делится на 3; второе слагаемое 3n тоже делится на 3.
Ответ: да, выражение делится на 3 при любом натуральном n.
Кратко \(n^5 + 2n = n(n - 1)(n + 1)(n^2 + 1) + 3n\).
Произведение трёх последовательных чисел (n − 1)n(n + 1) делится на 3, как и слагаемое 3n.
Ответ: да, при любом натуральном n.
Любое натуральное число n при делении на 3 даёт остаток 0, 1 или 2.1) Если \(n\) имеет остаток 0, то \(n^5\) и \(2n\) делятся на 3, значит, их сумма делится на 3.2) Если \(n\) имеет остаток 1, то \(n^5\) также имеет остаток 1, а \(2n\) — остаток 2. Сумма остатков равна 3, поэтому \(n^5 + 2n\) делится на 3.3) Если \(n\) имеет остаток 2, то остатки степеней \(n\) чередуются: 2, 1, 2, 1, 2. Поэтому \(n^5\) имеет остаток 2, а \(2n\) имеет остаток 1. Их сумма снова имеет остаток 3, то есть делится на 3.Ответ: да, \(n^5 + 2n\) делится нацело на 3 при любом натуральном \(n\).
Рассмотрим вариант решения задания из учебника
Мерзляк, Полонская, Якир 7 класс, Вентана-Граф:
Задание учебника 2025 года
Можно ли утверждать, что значение выражения n5 + 2n делится нацело на 3 при любом натуральном значении n?
