Упр.13.33 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)
Решение #1
Рассмотрим вариант решения задания из учебника Погорелов 9 класс, Просвещение:
33. Равнобокая трапеция описана около окружности с радиусом 12 дм. Точка касания делит её боковую сторону в отношении 9:4. Найдите среднюю линию трапеции.
Дано: равнобокая трапеция описана около окружности с радиусом 12 дм;
точка касания делит боковую сторону в отношении 9:4;
Найти: среднюю линию трапеции;
Решение:
1) Пусть ABCD-данная равнобокая трапеция с основаниями AD и BC,
стороны которой равны: AD=a, BC=b и AB=CD=c;
2) По свойству описанного четырехугольника:
AD+BC=AB+CD, то есть a+b=2c;
3) По теореме 6.8 средняя линия трапеции равна полусумме оснований:
(AD+BC)/2=(a+b)/2=2c/2=c, то есть в данном случае боковой стороне;
4) Рассмотрим параллельные прямые AD и BC и секущую AB:
угол B=180°- угол A (как внутренние односторонние углы);
5) Отметим точку O-центр вписанной в трапецию ABCD окружности,
так как центр окружности равноудален от всех сторон описанного
четырехугольника, то точка O лежит на пересечении биссектрис данной
трапеции, значит: OA-биссектриса угла A и OB биссектриса угла B;
6) Пусть угол A=Альфа, тогда угол B=180°-Альфа;
7) Рассмотрим треугольник BOA:
угол BAO=1/2 угол A=Альфа/2 и угол ABO=1/2 угол B=90°-Альфа/2;
угол AOB=180°- угол BAO- угол ABO=180°-Альфа/2-90°+Альфа/2=90°;
8) Опустим из точки O перпендикуляр OE на сторону AB, тогда:
OE=r=12 дм и AE:BE=9:4;
9) Пусть одна часть боковой стороны равна x, тогда: AE=9x и BE=4 x;
10) В прямоугольном треугольнике BOA отрезок OE является высотой,
опущенной на гипотенузу, значит согласно доказанному в контрольном
вопросе 11 параграфа 11 он является средним пропорциональным между
проекциями катетов OA и OB на гипотенузу AB.
11) Найдем длину средней линии
*размещая тексты в комментариях ниже, вы автоматически соглашаетесь с пользовательским соглашением
