Упр.13.34 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)
Решение #1
Рассмотрим вариант решения задания из учебника Погорелов 9 класс, Просвещение:
34. Около окружности радиуса r описана равнобокая трапеция с основаниями 2а и 2b. Докажите, что r2 = ab.
Дано: около окружности радиуса r описана равнобокая трапеция с
основаниями 2a и 2b;
Доказать: r^2=ab;
Доказательство:
1) Пусть ABCD-данная равнобокая трапеция, с основаниями:
AD=2a и BC=2b;
2) По свойству описанного четырехугольника:
AD+BC=AB+CD => 2a+2b=2AB, отсюда AB=a+b;
3) По свойству равнобокой трапеции: угол A = углу D;
4) Рассмотрим параллельные прямые AD и BC и секущую AB:
угол B=180°- угол A (как внутренние односторонние углы);
5) Пусть угол A = углу D=альфа, тогда угол B=180°-альфа;
6) Отметим точку O-центр вписанной в трапецию ABCD окружности,
так как центр окружности равноудален от всех сторон описанного
четырехугольника, то точка O лежит на пересечении биссектрис данной
трапеции, тогда: угол ODA = углу OAD=1/2 угол A=альфа/2 и угол ABO=1/2 угол B=90°-альфа/2;
7) Опустим перпендикуляр OE на сторону AB и перпендикуляр OH на
сторону AD, тогда: OE=OH=r;
8) Прямоугольные треугольники OAH и ODH равны по катету и проти-
волежащему острому углу (OH-общий катет и угол ODH = углу OAH), отсюда:
AH=HD=AD/2=2a/2=a;
9) AE=AH=a (как отрезки касательных, проведенных из одной точки);
10) BE=AB-AE=a+b-a=b;
11) Рассмотрим треугольник BOA:
угол AOB=180°- угол BAO- угол ABO=180°-альфа/2-90°+альфа/2=90°;
12) В прямоугольном треугольнике BOA отрезок OE является высотой,
опущенной на гипотенузу, значит согласно доказанному в контрольном
вопросе 11 параграфа 11 он является средним пропорциональным между
проекциями катетов OA и OB на гипотенузу AB:
OE=v(AE•BE);
r=v(a•b) => r^2=ab, что и требовлось доказать.
*размещая тексты в комментариях ниже, вы автоматически соглашаетесь с пользовательским соглашением
