Упр.13.32 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)
Решение #1
Рассмотрим вариант решения задания из учебника Погорелов 9 класс, Просвещение:
32. Докажите, что около равнобокой трапеции можно описать окружность. Верно ли обратное утверждение?
Доказать: около равнобокой трапеции можно описать окружность и
наоборот: если около трапеции можно описать окружность, то она
равнобокая;
Доказательство:
1) Пусть ABCD-данная равнобокая трапеция с основаниями AD и BC;
2) Как было доказано в задаче 6.60, углы при основаниях равнобокой
трапеции равны, значит: угол A = углу D и угол B = углу C;
3) угол A+ угол C = углу B+ угол D, значит около равнобокой трапеции можно
описать окружность по признаку вписанного четырехугольника, что
и требовалось доказать.
4) Обратно: пусть около трапеции ABCD с основаниями AD и BC можно
описать окружность, тогда по свойству вписанного четырехугольника:
угол A+ угол C = углу B+ угол D=180°;
5) Рассмотрим параллельные прямые AD и BC и секущую CD:
угол C+ угол D=180° (как внутренние односторонние углы);
6) угол A+ угол C = углу C+ угол D=180°, отсюда угол A = углу D;
7) Через точку C проведем прямую, параллельную прямой AB и
пересекающую основание AD в точке E;
8) Четырехугольник ABCE-параллелограмм, значит: AB=CE;
9) Рассмотрим параллельные прямые AB и CE и секущую AE:
угол A = углу CED (как соответственные углы), тогда угол D = углу A = углу CED;
10) Треугольник ACD-равнобедренный с основанием ED, отсюда:
CE=CD, тогда AB=CE=CD, значит трапеция ABCD-равнобокая,
что и требовалось доказать.
*размещая тексты в комментариях ниже, вы автоматически соглашаетесь с пользовательским соглашением
