Упр.13.11 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)
Решение #1
Рассмотрим вариант решения задания из учебника Погорелов 9 класс, Просвещение:
11. Докажите, что у четырёхугольника, описанного около окружности, суммы длин противолежащих сторон равны.
Доказать: у четырехугольника, описанного около окружности, суммы
длин противолежащих сторон равны;
Доказательство:
1) Пусть стороны описанного четырехугольника ABCD касаются
окружности с центром в точке O в точках: K, L, M и N;
2) Отрезки AB, BC, CD и DA являются касательными к окружности,
а отрезки OK, OL, OM и ON являются ее радиусами, следовательно:
AB?OK, BC?OL, CD?OM и DA?ON;
3) Прямоугольные треугольники AKO и ANO равны по гпотенузе и
катету (AO-общая гипотенуза и OK=OL=R), отсюда: AK=AN;
4) Аналогично, через равенства прямоугольных треугольников
треугольник BKO= треугольник BLO, треугольник CLO = треугольник CMO и треугольник DMO= треугольник DNO, доказывается, что:
BK=BL, CL=CM и DM=DN;
5) Получаем:
(AK+KB)+(CM+MD)=(AN+ND)+(BL+LC), то есть
AB+CD=AD+BC, что и требовалось доказать.
*размещая тексты в комментариях ниже, вы автоматически соглашаетесь с пользовательским соглашением
