Упр.1190 ГДЗ Макарычев 7 класс (Алгебра)
Решение #1(Учебник 2026)
Решение #2(Учебник 2019)
Решение #3(Учебник 2019)
Решение #4 (Учебник 2019)ИИ
Варианты решения:
Докажите делимость суммы кубов на 100С пояснением
Сгруппируем слагаемые попарно: \(1^3 + 99^3\), \(2^3 + 98^3\), …, \(49^3 + 51^3\). Слагаемое \(50^3\) останется без пары.
Для каждой пары при натуральном k от 1 до 49 имеем:
Ответ: сумма делится на 100.
Кратко Сгруппируем слагаемые в пары \(k^3 + (100 - k)^3\), где \(k = 1, 2, \ldots, 49\):
Ответ: сумма делится на 100.
Для каждой пары при натуральном k от 1 до 49 имеем:
\[k^3 + (100 - k)^3 = k^3 + 1000000 - 30000k + 300k^2 - k^3 = 100(10000 - 300k + 3k^2).\]
Значит, сумма каждой пары делится на 100. Оставшееся слагаемое \(50^3 = 125000\) тоже делится на 100. Следовательно, вся сумма делится на 100.Ответ: сумма делится на 100.
Кратко Сгруппируем слагаемые в пары \(k^3 + (100 - k)^3\), где \(k = 1, 2, \ldots, 49\):
\[k^3 + (100 - k)^3 = 100(10000 - 300k + 3k^2).\]
Каждая пара делится на 100. Оставшееся слагаемое \(50^3 = 125000\) также делится на 100.Ответ: сумма делится на 100.
Для любого натурального k верно:
\[\left[\frac{k(k + 1)}{2}\right]^2 - \left[\frac{k(k - 1)}{2}\right]^2 = \frac{k^2((k + 1)^2 - (k - 1)^2)}{4} = \frac{k^2 \cdot 4k}{4} = k^3.\]
Поэтому\[1^3 + 2^3 + \ldots + 99^3 = (1^2 - 0^2) + (3^2 - 1^2) + (6^2 - 3^2) + \ldots + (4950^2 - 4851^2).\]
Все промежуточные квадраты сокращаются, и остаётся:1³ + 2³ + ... + 99³ = 4950² = 24 502 500.Число 24 502 500 оканчивается двумя нулями, следовательно, оно делится на 100.Ответ: сумма делится на 100.
Рассмотрим вариант решения задания из учебника
Макарычев, Миндюк 7 класс, Просвещение:
Задание учебника 2026 года
Проходят ли прямые 2х + 3у = 20, 3х-5у = 11 и х + y = 9 через одну и ту же точку?
Задание учебника 2019 года
Докажите, что сумма 1^3 + 2^3 + ... + 99^3 делится на 100.
