Упр.52.20 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)
Решение #1
Решение #2
Решение #3ИИ
Варианты решения:
Найти число возможных составов хораС пояснением
Обозначим через \(C(n, k)\) число способов выбрать k человек из n.а) Выбираем 5 певцов из 10 и 3 певиц из 8:
\(C(10, 5) \cdot C(8, 3) = 252 \cdot 56 = 14112\).б) Из всех составов исключаем те, в которых поют оба певца А и Б. В таком составе остальных певцов выбираем 3 из 8:
\((C(10, 5) - C(8, 3)) \cdot C(8, 3) = (252 - 56) \cdot 56 = 10976\).в) Возможны два случая: А и В поют вместе либо оба не поют.
\(C(9, 4) \cdot C(7, 2) + C(9, 5) \cdot C(7, 3) = 126 \cdot 21 + 126 \cdot 35 = 7056\).г) Остались 4 певца, поэтому все они входят в хор. Выбираем певицу на мужскую партию, а затем трёх певиц на женские партии:
\(8 \cdot C(7, 3) = 8 \cdot 35 = 280\).Ответ: а) 14112; б) 10976; в) 7056; г) 280.
Кратко а) \(C(10, 5) \cdot C(8, 3) = 14112\).
б) \((C(10, 5) - C(8, 3)) \cdot C(8, 3) = 10976\).
в) \(C(9, 4) \cdot C(7, 2) + C(9, 5) \cdot C(7, 3) = 7056\).
г) \(8 \cdot C(7, 3) = 280\).Ответ: а) 14112; б) 10976; в) 7056; г) 280.
\(C(10, 5) \cdot C(8, 3) = 252 \cdot 56 = 14112\).б) Из всех составов исключаем те, в которых поют оба певца А и Б. В таком составе остальных певцов выбираем 3 из 8:
\((C(10, 5) - C(8, 3)) \cdot C(8, 3) = (252 - 56) \cdot 56 = 10976\).в) Возможны два случая: А и В поют вместе либо оба не поют.
\(C(9, 4) \cdot C(7, 2) + C(9, 5) \cdot C(7, 3) = 126 \cdot 21 + 126 \cdot 35 = 7056\).г) Остались 4 певца, поэтому все они входят в хор. Выбираем певицу на мужскую партию, а затем трёх певиц на женские партии:
\(8 \cdot C(7, 3) = 8 \cdot 35 = 280\).Ответ: а) 14112; б) 10976; в) 7056; г) 280.
Кратко а) \(C(10, 5) \cdot C(8, 3) = 14112\).
б) \((C(10, 5) - C(8, 3)) \cdot C(8, 3) = 10976\).
в) \(C(9, 4) \cdot C(7, 2) + C(9, 5) \cdot C(7, 3) = 7056\).
г) \(8 \cdot C(7, 3) = 280\).Ответ: а) 14112; б) 10976; в) 7056; г) 280.
Пусть \(x\) отмечает занятую мужскую партию, а \(y\) — женскую. Тогда нужное число составов равно коэффициенту при \(x^5y^3\) в соответствующем многочлене.а) Для каждого певца множитель равен \(1+x\), для каждой певицы — \(1+y\). Поэтому берём коэффициент при \(x^5y^3\) в
\((1+x)^{10}(1+y)^8\).
Он равен
\((1+2x)(1+x)^8(1+y)^8\):
\((1+x)^{10}(1+y)^8\).
Он равен
\[C(10,5)C(8,3)=252\cdot56=14112.\]
б) Для певцов А и Б допустимы только три варианта: не поёт никто, поёт только А или только Б. Поэтому их общий множитель равен \(1+2x\). Получаем коэффициент при \(x^5y^3\) в\((1+2x)(1+x)^8(1+y)^8\):
\[(C(8,5)+2C(8,4))C(8,3)=(56+2\cdot70)\cdot56=10976.\]
в) Певец А и певица В либо оба не поют, либо оба поют, поэтому их общий множитель равен \(1+xy\). Искомый коэффициент при \(x^5y^3\) в\((1+xy)(1+x)^9(1+y)^7\)
равен\[C(9,5)C(7,3)+C(9,4)C(7,2)\]
\[=126\cdot35+126\cdot21=7056.\]
г) После потери голоса шестью певцами четыре оставшихся певца обязательно занимают четыре мужские партии, что даёт множитель \(x^4\). Каждая певица может не участвовать, петь мужскую партию или петь женскую партию, поэтому для восьми певиц получаем \((1+x+y)^8\). Коэффициент при \(x^5y^3\) в\(x^4(1+x+y)^8\)
равен числу способов выбрать одну певицу на мужскую партию и трёх из оставшихся — на женские:\[8\cdot C(7,3)=8\cdot35=280.\]
Ответ: а) 14112; б) 10976; в) 7056; г) 280.
Рассмотрим вариант решения задания из учебника
Мордкович, Семенов 10-11 класс, Мнемозина:
В театре 10 певцов и 8 певиц, а в хоре из премьерной оперы 5 мужских и 3 женские партии.
а) Сколько существует различных составов хора?
б) То же, но если известно, что певцы А и Б ни за что не будут петь вместе?
в) То же, но если известно, что певец А будет петь тогда и только тогда, когда будет петь певица В?
г) То же, если 6 певцов накануне сорвали голос на футболе и одной певице придётся петь мужскую партию.
