Упр.32.33 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)
Решение #1
Решение #2
Решение #3ИИ
Варианты решения:
Найти размеры бака с наименьшей площадью поверхностиС пояснением
Пусть x м — сторона квадратного дна, h м — высота бака. Тогда \(x^2h = 343\), откуда \(h = 343/x^2,\ x > 0\).
Площадь поверхности закрытого бака:
\(\displaystyle S(x) = 2x^2 + 4xh = 2x^2 + \dfrac{1372}{x}\).
Найдём производную:
\(\displaystyle S'(x) = 4x - \dfrac{1372}{x^2} = \dfrac{4(x^3 - 343)}{x^2}\).
При x < 7 производная отрицательна, при x > 7 положительна. Значит, \(S(x)\) минимальна при \(x = 7\). Тогда \(h = \dfrac{343}{7^2} = 7\) (м).
Ответ: 7 м × 7 м × 7 м.
Кратко Пусть \(x\) м — сторона дна, \(h = 343/x^2\) м — высота.
\(S(x) = 2x^2 + 1372/x,\ x > 0\).
\(S'(x) = \dfrac{4(x^3 - 343)}{x^2}\). Производная меняет знак с минуса на плюс при x = 7, поэтому площадь минимальна при x = 7 м. Высота \(h = \dfrac{343}{49} = 7\) м.
Ответ: 7 м × 7 м × 7 м.
Площадь поверхности закрытого бака:
\(\displaystyle S(x) = 2x^2 + 4xh = 2x^2 + \dfrac{1372}{x}\).
Найдём производную:
\(\displaystyle S'(x) = 4x - \dfrac{1372}{x^2} = \dfrac{4(x^3 - 343)}{x^2}\).
При x < 7 производная отрицательна, при x > 7 положительна. Значит, \(S(x)\) минимальна при \(x = 7\). Тогда \(h = \dfrac{343}{7^2} = 7\) (м).
Ответ: 7 м × 7 м × 7 м.
Кратко Пусть \(x\) м — сторона дна, \(h = 343/x^2\) м — высота.
\(S(x) = 2x^2 + 1372/x,\ x > 0\).
\(S'(x) = \dfrac{4(x^3 - 343)}{x^2}\). Производная меняет знак с минуса на плюс при x = 7, поэтому площадь минимальна при x = 7 м. Высота \(h = \dfrac{343}{49} = 7\) м.
Ответ: 7 м × 7 м × 7 м.
Пусть x м — сторона квадратного дна, h м — высота бака. По условию \(x^2h = 343\), поэтому \(h = \dfrac{343}{x^2}\), где \(x > 0\).Площадь поверхности закрытого бака равна
\(\displaystyle S \ge 3\sqrt[3]{((2x^2 \cdot 686/x \cdot 686/x))} = 3\sqrt[3]{941192} = 3 \cdot 98 = 294\).Равенство достигается, когда все три слагаемых равны:
\(\displaystyle h = \frac{343}{7^2} = 7\) м.Следовательно, наименьшее количество материала потребуется для бака размером 7 м × 7 м × 7 м.
\[S = 2x^2 + 4xh = 2x^2 + \frac{1372}{x}.\]
Представим её в виде суммы трёх положительных слагаемых:\[S = 2x^2 + \frac{686}{x} + \frac{686}{x}.\]
По неравенству о среднем арифметическом и среднем геометрическом\(\displaystyle S \ge 3\sqrt[3]{((2x^2 \cdot 686/x \cdot 686/x))} = 3\sqrt[3]{941192} = 3 \cdot 98 = 294\).Равенство достигается, когда все три слагаемых равны:
\[2x^2 = \frac{686}{x},\]
\[2x^3 = 686,\]
\[x^3 = 343,\]
\[x = 7.\]
Тогда\(\displaystyle h = \frac{343}{7^2} = 7\) м.Следовательно, наименьшее количество материала потребуется для бака размером 7 м × 7 м × 7 м.
Рассмотрим вариант решения задания из учебника
Мордкович, Семенов 10-11 класс, Мнемозина:
Закрытый металлический бак с квадратным дном должен иметь объём 343 м^3.
При каких размерах на его изготовление пойдёт наименьшее количество материала?
