Упр.32.36 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)
Решение #1
Решение #2
Решение #3ИИ
Варианты решения:
Найти основание трапеции с наибольшей площадьюС пояснением
Пусть x — половина разности второго основания и основания длиной 15 см. Тогда второе основание равно \(15 + 2x\), а высота равна \(\sqrt{225-x^2}\). По условию \(x \in (-7{,}5; 15)\).Площадь трапеции:
Кратко Пусть второе основание равно 15 + 2x см, где \(-7{,}5 < x < 15\). Тогда
\[S(x) = (15 + x)\sqrt{225 - x^2}.\]
Найдём производную:\[S'(x) = \frac{225 - 15x - 2x^2}{\sqrt{225 - x^2}}.\]
В рассматриваемом промежутке \(S'(x) = 0\) при \(x = 7{,}5\). Производная положительна при \(x < 7{,}5\) и отрицательна при \(x > 7{,}5\), поэтому площадь наибольшая при \(x = 7{,}5\).Второе основание: \(15 + 2 \cdot 7{,}5 = 30\) см.Ответ: 30 см.Кратко Пусть второе основание равно 15 + 2x см, где \(-7{,}5 < x < 15\). Тогда
\[S(x) = (15 + x)\sqrt{225 - x^2},\]
\[S'(x) = \frac{225 - 15x - 2x^2}{\sqrt{225 - x^2}}.\]
На данном промежутке производная меняет знак с плюса на минус при \(x = 7{,}5\). Значит, площадь наибольшая при втором основании \(15 + 2 \cdot 7{,}5 = 30\) см.Ответ: 30 см.Пусть x — половина разности второго основания и основания длиной 15 см. Тогда второе основание равно \(15+2x\), а высота трапеции равна \(\sqrt{225-x^2}\).Введём \(a=1+\dfrac{x}{15}\). Тогда \(1-\dfrac{x}{15}=2-a\), причём \(a>0\) и \(2-a>0\). Площадь равна
\(15+2\cdot 7{,}5=30\) см.Ответ: 30 см.
\[S=(15+x)\sqrt{225-x^2}=225a\sqrt{a(2-a)},\]
поэтому\[S^2=225^2a^3(2-a).\]
Применим неравенство о среднем арифметическом и среднем геометрическом к положительным числам a, a, a и 3(2−a). Их сумма равна 6, поэтому их произведение максимально, когда все четыре числа равны:\[a=3(2-a).\]
Отсюда \(4a=6\), то есть \(a=\dfrac{3}{2}\). Следовательно,\[1+\frac{x}{15}=\frac{3}{2},\]
\[x=7{,}5.\]
Длина второго основания:\(15+2\cdot 7{,}5=30\) см.Ответ: 30 см.
Рассмотрим вариант решения задания из учебника
Мордкович, Семенов 10-11 класс, Мнемозина:
Боковые стороны и одно из оснований трапеции равны 15 см.
При какой длине второго основания площадь трапеции будет наибольшей?
