Упр.32.32 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)
Решение #1
Решение #2
Решение #3ИИ
Варианты решения:
Найти размеры бака с наименьшим расходом материалаС пояснением
Пусть x дм — сторона квадратного основания, h дм — высота бака. Объём равен 32 л = 32 дм³, поэтому \(x^2h = 32\) и \(h = \dfrac{32}{x^2}\).
Площадь материала для открытого бака:
\(S(x) = x^2 + 4xh = x^2 + 128/x,\quad x > 0\).
\(\displaystyle S'(x) = 2x - \dfrac{128}{x^2} = \dfrac{2(x^3 - 64)}{x^2}\).
Производная отрицательна при \(0 < x < 4\) и положительна при \(x > 4\). Значит, площадь минимальна при \(x = 4\) дм. Тогда \(h = \dfrac{32}{4^2} = 2\) дм.
Ответ: основание 4 дм × 4 дм, высота 2 дм.
Кратко Пусть x дм — сторона основания. Тогда высота равна \(\dfrac{32}{x^2}\) дм, а площадь открытого бака \(S(x) = x^2 + \dfrac{128}{x}\).
\(S'(x) = \dfrac{2(x^3 - 64)}{x^2}\). Производная меняет знак с минуса на плюс при \(x = 4\), поэтому площадь минимальна при \(x = 4\) дм. Высота: \(\dfrac{32}{4^2} = 2\) дм.
Ответ: основание 4 дм × 4 дм, высота 2 дм.
Площадь материала для открытого бака:
\(S(x) = x^2 + 4xh = x^2 + 128/x,\quad x > 0\).
\(\displaystyle S'(x) = 2x - \dfrac{128}{x^2} = \dfrac{2(x^3 - 64)}{x^2}\).
Производная отрицательна при \(0 < x < 4\) и положительна при \(x > 4\). Значит, площадь минимальна при \(x = 4\) дм. Тогда \(h = \dfrac{32}{4^2} = 2\) дм.
Ответ: основание 4 дм × 4 дм, высота 2 дм.
Кратко Пусть x дм — сторона основания. Тогда высота равна \(\dfrac{32}{x^2}\) дм, а площадь открытого бака \(S(x) = x^2 + \dfrac{128}{x}\).
\(S'(x) = \dfrac{2(x^3 - 64)}{x^2}\). Производная меняет знак с минуса на плюс при \(x = 4\), поэтому площадь минимальна при \(x = 4\) дм. Высота: \(\dfrac{32}{4^2} = 2\) дм.
Ответ: основание 4 дм × 4 дм, высота 2 дм.
Пусть x дм — сторона квадратного основания, h дм — высота бака. Так как \(32\text{ л} = 32\text{ дм}^3\), то \(x^2h = 32\), откуда \(h = \dfrac{32}{x^2}\).Площадь материала открытого бака равна площади основания и четырёх боковых стенок:
\(\displaystyle S \ge 3\sqrt[3]{x^2 \cdot \frac{64}{x} \cdot \frac{64}{x}} = 3\sqrt[3]{4096} = 48\).Равенство достигается, когда все три слагаемых равны:
\[S = x^2 + 4xh = x^2 + \frac{128}{x}.\]
Представим её в виде суммы трёх положительных слагаемых:\[S = x^2 + \frac{64}{x} + \frac{64}{x}.\]
По неравенству между средним арифметическим и средним геометрическим\(\displaystyle S \ge 3\sqrt[3]{x^2 \cdot \frac{64}{x} \cdot \frac{64}{x}} = 3\sqrt[3]{4096} = 48\).Равенство достигается, когда все три слагаемых равны:
\[x^2 = \frac{64}{x},\]
\[x^3 = 64,\]
\[x = 4.\]
Тогда \(h = \dfrac{32}{4^2} = 2\) дм.Ответ: основание 4 дм × 4 дм, высота 2 дм.
Рассмотрим вариант решения задания из учебника
Мордкович, Семенов 10-11 класс, Мнемозина:
Открытый металлический бак с квадратным основанием должен вмещать 32 л воды.
При каких размерах на его изготовление уйдёт наименьшее количество материала?
