Упр.29.7 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)
Решение #1
Решение #2
Решение #3ИИ
Варианты решения:
Найдите угол наклона касательной к оси xС пояснением
Тангенс угла наклона касательной к положительному направлению оси \(x\) равен значению производной в точке касания: \(\operatorname{tg}\alpha = f'(a)\), где \(0° \leq \alpha < 180°\).а) \(f'(x) = 2x\); \(f'(0{,}5) = 1\). Значит, \(\operatorname{tg}\alpha = 1\) и \(\alpha = 45°\).
б) \(f'(x) = -9x^2\); \(f'(1/3) = -1\). Значит, \(\operatorname{tg}\alpha = -1\) и \(\alpha = 135°\).
в) \(f'(x) = x^4\); \(f'(-1) = 1\). Значит, \(\operatorname{tg}\alpha = 1\) и \(\alpha = 45°\).
г) \(f'(x) = -x^3\); \(f'(0) = 0\). Значит, \(\operatorname{tg}\alpha = 0\) и \(\alpha = 0°\).Ответ: а) 45°; б) 135°; в) 45°; г) 0°.
Кратко \(\operatorname{tg}\alpha = f'(a)\), \(0° \leq \alpha < 180°\).
а) \(f'(x) = 2x\); \(f'(0{,}5) = 1\), \(\alpha = 45°\).
б) \(f'(x) = -9x^2\); \(f'(1/3) = -1\), \(\alpha = 135°\).
в) \(f'(x) = x^4\); \(f'(-1) = 1\), \(\alpha = 45°\).
г) \(f'(x) = -x^3\); \(f'(0) = 0\), \(\alpha = 0°\).
Ответ: а) 45°; б) 135°; в) 45°; г) 0°.
б) \(f'(x) = -9x^2\); \(f'(1/3) = -1\). Значит, \(\operatorname{tg}\alpha = -1\) и \(\alpha = 135°\).
в) \(f'(x) = x^4\); \(f'(-1) = 1\). Значит, \(\operatorname{tg}\alpha = 1\) и \(\alpha = 45°\).
г) \(f'(x) = -x^3\); \(f'(0) = 0\). Значит, \(\operatorname{tg}\alpha = 0\) и \(\alpha = 0°\).Ответ: а) 45°; б) 135°; в) 45°; г) 0°.
Кратко \(\operatorname{tg}\alpha = f'(a)\), \(0° \leq \alpha < 180°\).
а) \(f'(x) = 2x\); \(f'(0{,}5) = 1\), \(\alpha = 45°\).
б) \(f'(x) = -9x^2\); \(f'(1/3) = -1\), \(\alpha = 135°\).
в) \(f'(x) = x^4\); \(f'(-1) = 1\), \(\alpha = 45°\).
г) \(f'(x) = -x^3\); \(f'(0) = 0\), \(\alpha = 0°\).
Ответ: а) 45°; б) 135°; в) 45°; г) 0°.
Угловой коэффициент касательной в точке с абсциссой a найдём по формуле
\(\displaystyle k=\lim_{h\to 0}\dfrac{f(a+h)-f(a)}{h}\).
Затем используем равенство \(\operatorname{tg}\alpha=k\), где 0° ≤ α < 180°.а) \(k=\lim_{h\to 0}\dfrac{(0{,}5+h)^2-0{,}5^2}{h}=\lim_{h\to 0}(1+h)=1\).
Следовательно, tg α = 1, поэтому α = 45°.б) \[k=\lim_{h\to 0}\frac{-3((1/3+h)^3-(1/3)^3)}{h}\]
Следовательно, \(\operatorname{tg}\alpha=0\), поэтому \(\alpha=0°\).Ответ: а) 45°; б) 135°; в) 45°; г) 0°.
\(\displaystyle k=\lim_{h\to 0}\dfrac{f(a+h)-f(a)}{h}\).
Затем используем равенство \(\operatorname{tg}\alpha=k\), где 0° ≤ α < 180°.а) \(k=\lim_{h\to 0}\dfrac{(0{,}5+h)^2-0{,}5^2}{h}=\lim_{h\to 0}(1+h)=1\).
Следовательно, tg α = 1, поэтому α = 45°.б) \[k=\lim_{h\to 0}\frac{-3((1/3+h)^3-(1/3)^3)}{h}\]
\[=\lim_{h\to 0}(-1-3h-3h^2)=-1.\]
Следовательно, \(\operatorname{tg}\alpha=-1\). В промежутке 0° ≤ α < 180° получаем \(\alpha=135°\).в) \[k=\lim_{h\to 0}\frac{0{,}2((-1+h)^5-(-1)^5)}{h}\]\[=\lim_{h\to 0}0{,}2(5-10h+10h^2-5h^3+h^4)=1.\]
Следовательно, tg α = 1, поэтому α = 45°.г) \(k=\lim_{h\to 0}\dfrac{-0{,}25h^4}{h}=\lim_{h\to 0}(-0{,}25h^3)=0\).Следовательно, \(\operatorname{tg}\alpha=0\), поэтому \(\alpha=0°\).Ответ: а) 45°; б) 135°; в) 45°; г) 0°.
Рассмотрим вариант решения задания из учебника
Мордкович, Семенов 10-11 класс, Мнемозина:
Определите, какой угол образует с осью х касательная,
проведённая к графику функции у = f(x) в точке с абсциссой х = а, если:
a) f(x) = х^2, а = 0,5;
б) f(x) = -Зx^3, а = 1/3;
в) f(x) = 0,2x^5, а = -1;
г) f(x) = -0,25x^4, а = 0.
