Упр.29.4 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)
Решение #1
Решение #2
Решение #3ИИ
Варианты решения:
Найти угловые коэффициенты касательных к параболеС пояснением
Угловой коэффициент касательной в точке с абсциссой \(x_0\) равен значению производной y′(\(x_0\)).
1) Найдём производную: \(y' = (1-x^2)' = -2x\).
2) Подставим абсциссы заданных точек:
а) \(k = -2 \cdot 0 = 0\);
б) \(k = -2 \cdot 2 = -4\);
в) \(k = -2 \cdot \frac{1}{2} = -1\);
г) \(k = -2 \cdot (-1) = 2\).
Ответ: а) 0; б) −4; в) −1; г) 2.
Кратко \(y' = -2x,\ k = y'(x_0)\).
а) \(k = -2 \cdot 0 = 0\);
б) \(k = -2 \cdot 2 = -4\);
в) \(k = -2 \cdot \frac{1}{2} = -1\);
г) \(k = -2 \cdot (-1) = 2\).
Ответ: а) 0; б) −4; в) −1; г) 2.
1) Найдём производную: \(y' = (1-x^2)' = -2x\).
2) Подставим абсциссы заданных точек:
а) \(k = -2 \cdot 0 = 0\);
б) \(k = -2 \cdot 2 = -4\);
в) \(k = -2 \cdot \frac{1}{2} = -1\);
г) \(k = -2 \cdot (-1) = 2\).
Ответ: а) 0; б) −4; в) −1; г) 2.
Кратко \(y' = -2x,\ k = y'(x_0)\).
а) \(k = -2 \cdot 0 = 0\);
б) \(k = -2 \cdot 2 = -4\);
в) \(k = -2 \cdot \frac{1}{2} = -1\);
г) \(k = -2 \cdot (-1) = 2\).
Ответ: а) 0; б) −4; в) −1; г) 2.
Пусть касательная проходит через точку параболы \((x_0; 1-x_0^2)\) и имеет угловой коэффициент k. Тогда её уравнение:
\(y-(1-x_0^2)=k(x-x_0)\).Точки пересечения этой прямой с параболой удовлетворяют уравнению
\(1-x^2-(1-x_0^2)=k(x-x_0)\),
то есть
\(-x_0-k=x_0\),
откуда \(k=-2x_0\).а) \(x_0=0\): \(k=0\).
б) \(x_0=2\): \(k=-4\).
в) \(x_0=\frac{1}{2}\): \(k=-1\).
г) \(x_0=-1\): \(k=2\).Ответ: а) 0; б) −4; в) −1; г) 2.
\(y-(1-x_0^2)=k(x-x_0)\).Точки пересечения этой прямой с параболой удовлетворяют уравнению
\(1-x^2-(1-x_0^2)=k(x-x_0)\),
то есть
\[x_0^2-x^2=k(x-x_0),\]
\[-(x-x_0)(x+x_0)=k(x-x_0),\]
\[(x-x_0)(x+x_0+k)=0.\]
Для касательной оба корня уравнения пересечения должны совпадать с x₀. Поэтому\(-x_0-k=x_0\),
откуда \(k=-2x_0\).а) \(x_0=0\): \(k=0\).
б) \(x_0=2\): \(k=-4\).
в) \(x_0=\frac{1}{2}\): \(k=-1\).
г) \(x_0=-1\): \(k=2\).Ответ: а) 0; б) −4; в) −1; г) 2.
Рассмотрим вариант решения задания из учебника
Мордкович, Семенов 10-11 класс, Мнемозина:
Чему равен угловой коэффициент касательной к параболе у = 1 - х^2 в точке:
а) A(0; 1);
б) B(2; -3);
в) B(1/2; 3/4);
г) D(-1; 0)?
