Упр.707 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Алгебра)
Решение #1(Учебник 2026)
Решение #2(Учебник 2026)
Решение #3(Учебник 2026)
Решение #4(Учебник 2024)
Решение #5(Учебник 2024)
Решение #6(Учебник 2024)
Решение #7 (Учебник 2024)ИИ
Варианты решения:
Докажите свойства геометрической прогрессии и приведите примерыС пояснением
Для любого n ≥ 1 имеем bₙ = \(b_1\)qⁿ⁻¹ и bₙ₊₁ − bₙ = bₙ(q − 1). Во всех случаях \(q > 0\), поэтому bₙ имеет тот же знак, что и \(b_1\).а) \(b_n > 0\) и \(q - 1 > 0\), поэтому bₙ₊₁ − \(b_n > 0\). Значит, bₙ₊₁ > bₙ. Пример: \(1, 2, 4, 8, \ldots\) (\(q = 2\)).б) \(b_n > 0\) и \(q - 1 < 0\), поэтому bₙ₊₁ − \(b_n < 0\). Значит, bₙ₊₁ < bₙ. Пример: \(8, 4, 2, 1, \ldots\) (\(q = 1/2\)).в) \(b_n < 0\) и \(q - 1 > 0\), поэтому bₙ₊₁ − \(b_n < 0\). Значит, bₙ₊₁ < bₙ. Пример: \(-1, -2, -4, -8, \ldots\) (\(q = 2\)).г) \(b_n < 0\) и \(q - 1 < 0\), поэтому bₙ₊₁ − \(b_n > 0\). Значит, bₙ₊₁ > bₙ. Пример: \(-8, -4, -2, -1, \ldots\) (\(q = 1/2\)).Ответ: в случаях а) и г) каждый следующий член больше предыдущего, в случаях б) и в) — меньше.
Кратко bₙ₊₁ − bₙ = bₙ(q − 1). Так как \(q > 0\), знак bₙ совпадает со знаком \(b_1\).а) \(b_n > 0\), \(q - 1 > 0\), значит, bₙ₊₁ > bₙ. Пример: 1, 2, 4, … (q = 2).
б) \(b_n > 0\), \(q - 1 < 0\), значит, bₙ₊₁ < bₙ. Пример: 8, 4, 2, … (\(q = 1/2\)).
в) \(b_n < 0\), \(q - 1 > 0\), значит, bₙ₊₁ < bₙ. Пример: −1, −2, −4, … (q = 2).
г) \(b_n < 0\), \(q - 1 < 0\), значит, bₙ₊₁ > bₙ. Пример: −8, −4, −2, … (\(q = 1/2\)).Ответ: а), г) — каждый следующий член больше предыдущего; б), в) — меньше.
Кратко bₙ₊₁ − bₙ = bₙ(q − 1). Так как \(q > 0\), знак bₙ совпадает со знаком \(b_1\).а) \(b_n > 0\), \(q - 1 > 0\), значит, bₙ₊₁ > bₙ. Пример: 1, 2, 4, … (q = 2).
б) \(b_n > 0\), \(q - 1 < 0\), значит, bₙ₊₁ < bₙ. Пример: 8, 4, 2, … (\(q = 1/2\)).
в) \(b_n < 0\), \(q - 1 > 0\), значит, bₙ₊₁ < bₙ. Пример: −1, −2, −4, … (q = 2).
г) \(b_n < 0\), \(q - 1 < 0\), значит, bₙ₊₁ > bₙ. Пример: −8, −4, −2, … (\(q = 1/2\)).Ответ: а), г) — каждый следующий член больше предыдущего; б), в) — меньше.
Так как \(q>0\), все члены прогрессии имеют тот же знак, что и \(b_1\).а) \(b_1>0\), значит, \(b_n>0\). Из \(q>1\) получаем \(qb_n>b_n\). Но qbₙ=bₙ₊₁, поэтому bₙ₊₁>bₙ. Пример: \(1, 2, 4, 8, \ldots\) при \(q=2\).б) \(b_1>0\), значит, \(b_n>0\). Из \(0<q<1\) получаем \(qb_n<b_n\). Следовательно, bₙ₊₁<bₙ. Пример: \(8, 4, 2, 1, \ldots\) при \(q=1/2\).в) \(b_1<0\), значит, \(b_n<0\). Умножим неравенство \(q>1\) на отрицательное число \(b_n\); знак неравенства изменится: \(qb_n<b_n\). Следовательно, bₙ₊₁<bₙ. Пример: \(-1, -2, -4, -8, \ldots\) при \(q=2\).г) \(b_1<0\), значит, \(b_n<0\). Умножим неравенство \(q<1\) на отрицательное число \(b_n\); знак неравенства изменится: \(qb_n>b_n\). Следовательно, bₙ₊₁>bₙ. Пример: \(-8, -4, -2, -1, \ldots\) при \(q=1/2\).
Рассмотрим вариант решения задания из учебника
Макарычев, Миндюк, Нешков 9 класс, Просвещение:
Задание учебника 2026 года
Упростите:
Задание учебника 2024 года
Последовательность (bn) — геометрическая прогрессия. Докажите, что:
а) если b1 > 0 и q > 1, то каждый следующий член прогрессии больше предыдущего;
б) если b1 > 0 и 0 < q < 1, то каждый следующий член прогрессии меньше предыдущего;
в) если b1 < 0 и q > 1, то каждый следующий член прогрессии меньше предыдущего;
г) если b1 < 0 и 0 < q < 1, то каждый следующий член прогрессии больше предыдущего.
Для каждого из рассмотренных случаев приведите пример.
