Упр.711 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Алгебра)
Решение #1(Учебник 2026)
Решение #2(Учебник 2026)
Решение #3(Учебник 2026)
Решение #4(Учебник 2024)
Решение #5(Учебник 2024)
Решение #6(Учебник 2024)
Решение #7 (Учебник 2024)ИИ
Варианты решения:
Докажите, что последовательность геометрическаяС пояснением
1) Найдём первый член: \(x_1 = S_1 = \frac{3}{4} \cdot (5 - 1) = 3\).
2) При n ≥ 2 найдём общий член как разность двух последовательных сумм:
xₙ = Sₙ − Sₙ₋₁ = 3/4 · (5ⁿ − 1) − 3/4 · (5ⁿ⁻¹ − 1) = 3 · 5ⁿ⁻¹.
При n = 1 эта формула также верна.
3) Для любого n ≥ 1 имеем xₙ₊₁/xₙ = (3 · 5ⁿ)/(3 · 5ⁿ⁻¹) = 5. Отношение соседних членов постоянно, значит, последовательность является геометрической прогрессией.
Ответ: \(q = 5\), \(x_1 = 3\).
Кратко \(\displaystyle x_1 = S_1 = \frac{3}{4}\cdot(5 - 1) = 3\).
При n ≥ 2: xₙ = Sₙ − Sₙ₋₁ = 3/4 · (5ⁿ − 5ⁿ⁻¹) = 3 · 5ⁿ⁻¹. Эта формула верна и при n = 1.
xₙ₊₁/xₙ = 5, поэтому (xₙ) — геометрическая прогрессия.
Ответ: \(q = 5\), \(x_1 = 3\).
2) При n ≥ 2 найдём общий член как разность двух последовательных сумм:
xₙ = Sₙ − Sₙ₋₁ = 3/4 · (5ⁿ − 1) − 3/4 · (5ⁿ⁻¹ − 1) = 3 · 5ⁿ⁻¹.
При n = 1 эта формула также верна.
3) Для любого n ≥ 1 имеем xₙ₊₁/xₙ = (3 · 5ⁿ)/(3 · 5ⁿ⁻¹) = 5. Отношение соседних членов постоянно, значит, последовательность является геометрической прогрессией.
Ответ: \(q = 5\), \(x_1 = 3\).
Кратко \(\displaystyle x_1 = S_1 = \frac{3}{4}\cdot(5 - 1) = 3\).
При n ≥ 2: xₙ = Sₙ − Sₙ₋₁ = 3/4 · (5ⁿ − 5ⁿ⁻¹) = 3 · 5ⁿ⁻¹. Эта формула верна и при n = 1.
xₙ₊₁/xₙ = 5, поэтому (xₙ) — геометрическая прогрессия.
Ответ: \(q = 5\), \(x_1 = 3\).
Найдём первый член:
\(S_1=\frac34(5-1)=3\), поэтому \(x_1=3\).Для любого n≥1:
\(S_2=\frac34(25-1)=18\),
поэтому \(x_2=S_2-S_1=18-3=15=5x_1\).Таким образом, для любого n≥1 выполняется \(x_{n+1}=5x_n\). Следовательно, \((x_n)\) — геометрическая прогрессия со знаменателем \(q=5\) и первым членом \(x_1=3\).
\(S_1=\frac34(5-1)=3\), поэтому \(x_1=3\).Для любого n≥1:
\[5S_n+3=5\cdot\frac34(5^n-1)+3=\frac34(5^{n+1}-1)=S_{n+1}.\]
Значит,\[S_{n+1}=5S_n+3.\]
Тогда при n≥2:\[x_n=S_n-S_{n-1}=5S_{n-1}+3-S_{n-1}=4S_{n-1}+3.\]
Следовательно,\[x_{n+1}=4S_n+3=4(5S_{n-1}+3)+3=5(4S_{n-1}+3)=5x_n.\]
Осталось проверить первую пару членов:\(S_2=\frac34(25-1)=18\),
поэтому \(x_2=S_2-S_1=18-3=15=5x_1\).Таким образом, для любого n≥1 выполняется \(x_{n+1}=5x_n\). Следовательно, \((x_n)\) — геометрическая прогрессия со знаменателем \(q=5\) и первым членом \(x_1=3\).
Рассмотрим вариант решения задания из учебника
Макарычев, Миндюк, Нешков 9 класс, Просвещение:
Задание учебника 2026 года
Преобразуйте выражение:
Задание учебника 2024 года
Сумму первых n членов последовательности (хn) можно найти по формуле
Sn = 3/4(5n - 1).
Докажите, что последовательность (хn) — геометрическая прогрессия. Найдите знаменатель и первый член этой прогрессии.
