Упр.681 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Алгебра)
Решение #1(Учебник 2026)
Решение #2(Учебник 2026)
Решение #3(Учебник 2026)
Решение #4(Учебник 2024)
Решение #5(Учебник 2024)
Решение #6(Учебник 2024)
Решение #7 (Учебник 2024)ИИ
Варианты решения:
Докажите равенства для арифметической прогрессииС пояснением
Пусть d — разность прогрессии. По формуле n-го члена yₖ = y₁ + (k − 1)d.а) Выразим обе суммы через y₁ и d:
yₙ₋₅ + yₙ₊₁₀ = (y₁ + (n − 6)d) + (y₁ + (n + 9)d) = 2y₁ + (2n + 3)d;
yₙ + yₙ₊₅ = (y₁ + (n − 1)d) + (y₁ + (n + 4)d) = 2y₁ + (2n + 3)d.
Суммы равны.Ответ: оба равенства доказаны.
Кратко Пусть d — разность прогрессии, yₖ = y₁ + (k − 1)d.а) \(y_2 + y_7 = 2y_1 + 7d\); \(y_4 + y_5 = 2y_1 + 7d\).б) yₙ₋₅ + yₙ₊₁₀ = 2y₁ + (2n + 3)d; yₙ + yₙ₊₅ = 2y₁ + (2n + 3)d.Ответ: оба равенства доказаны.
\[y_2 + y_7 = (y_1 + d) + (y_1 + 6d) = 2y_1 + 7d;\]
\[y_4 + y_5 = (y_1 + 3d) + (y_1 + 4d) = 2y_1 + 7d.\]
Суммы равны.б) Аналогично:yₙ₋₅ + yₙ₊₁₀ = (y₁ + (n − 6)d) + (y₁ + (n + 9)d) = 2y₁ + (2n + 3)d;
yₙ + yₙ₊₅ = (y₁ + (n − 1)d) + (y₁ + (n + 4)d) = 2y₁ + (2n + 3)d.
Суммы равны.Ответ: оба равенства доказаны.
Кратко Пусть d — разность прогрессии, yₖ = y₁ + (k − 1)d.а) \(y_2 + y_7 = 2y_1 + 7d\); \(y_4 + y_5 = 2y_1 + 7d\).б) yₙ₋₅ + yₙ₊₁₀ = 2y₁ + (2n + 3)d; yₙ + yₙ₊₅ = 2y₁ + (2n + 3)d.Ответ: оба равенства доказаны.
Пусть d — разность арифметической прогрессии.а) Между членами y₅ и y₇ два шага, поэтому
\[y_7-y_5=2d.\]
Между членами y₂ и y₄ также два шага, поэтому\[y_4-y_2=2d.\]
Следовательно,\[y_7-y_5=y_4-y_2,\]
откуда\[y_2+y_7=y_4+y_5.\]
б) Между членами yₙ₊₅ и yₙ₊₁₀ пять шагов, поэтомуyₙ₊₁₀ − yₙ₊₅ = 5d.Между членами yₙ₋₅ и yₙ также пять шагов, поэтомуyₙ − yₙ₋₅ = 5d.Значит,yₙ₊₁₀ − yₙ₊₅ = yₙ − yₙ₋₅,откудаyₙ₋₅ + yₙ₊₁₀ = yₙ + yₙ₊₅.Оба равенства доказаны.
Рассмотрим вариант решения задания из учебника
Макарычев, Миндюк, Нешков 9 класс, Просвещение:
Задание учебника 2026 года
Найдите значение выражения:
Задание учебника 2024 года
Докажите, что если (уn) — арифметическая прогрессия, то:
а) У2 + У7 = У*4+ У5;
б) Уn- 5 + Уn + 10 = Уn + Уn+ 5,где n > 5.
