Упр.676 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Алгебра)
Решение #1(Учебник 2026)
Решение #2(Учебник 2026)
Решение #3(Учебник 2026)
Решение #4 (Учебник 2026)ИИ
Варианты решения:
Докажите формулу для членов геометрической прогрессииС пояснением
Для геометрической прогрессии bₖ = b₁qᵏ⁻¹. При \(q \ne 0\) по свойству степеней:
bₘqⁿ⁻ᵐ = b₁qᵐ⁻¹qⁿ⁻ᵐ = b₁qⁿ⁻¹ = bₙ.
Ответ: bₙ = bₘqⁿ⁻ᵐ, что и требовалось доказать.
Кратко bₘqⁿ⁻ᵐ = b₁qᵐ⁻¹qⁿ⁻ᵐ = b₁qⁿ⁻¹ = bₙ при q ≠ 0.
Ответ: bₙ = bₘqⁿ⁻ᵐ.
bₘqⁿ⁻ᵐ = b₁qᵐ⁻¹qⁿ⁻ᵐ = b₁qⁿ⁻¹ = bₙ.
Ответ: bₙ = bₘqⁿ⁻ᵐ, что и требовалось доказать.
Кратко bₘqⁿ⁻ᵐ = b₁qᵐ⁻¹qⁿ⁻ᵐ = b₁qⁿ⁻¹ = bₙ при q ≠ 0.
Ответ: bₙ = bₘqⁿ⁻ᵐ.
Если n>m, то, последовательно переходя от одного члена прогрессии к следующему, получаем:
bₘ₊₁=bₘq,
bₘ₊₂=bₘq²,
…,
bₙ=bₘqⁿ⁻ᵐ.Если \(n=m\), то \(b_n=b_m=b_mq^0\).Если n<m, то аналогично bₘ=bₙqᵐ⁻ⁿ. Поскольку \(q\ne 0\), разделим обе части на qᵐ⁻ⁿ:
bₙ=bₘ/qᵐ⁻ⁿ=bₘqⁿ⁻ᵐ.Таким образом, во всех случаях bₙ=bₘqⁿ⁻ᵐ, что и требовалось доказать.
bₘ₊₁=bₘq,
bₘ₊₂=bₘq²,
…,
bₙ=bₘqⁿ⁻ᵐ.Если \(n=m\), то \(b_n=b_m=b_mq^0\).Если n<m, то аналогично bₘ=bₙqᵐ⁻ⁿ. Поскольку \(q\ne 0\), разделим обе части на qᵐ⁻ⁿ:
bₙ=bₘ/qᵐ⁻ⁿ=bₘqⁿ⁻ᵐ.Таким образом, во всех случаях bₙ=bₘqⁿ⁻ᵐ, что и требовалось доказать.
Решение #5(Учебник 2024)
Решение #6(Учебник 2024)
Решение #7 (Учебник 2024)ИИ
Варианты решения:
Определи, какие последовательности являются арифметическими прогрессиямиС пояснением
Пусть d — разность прогрессии (aₙ). Проверим разности соседних членов каждой последовательности.
а) a₂ₙ₊₂ − a₂ₙ = 2d. Разность постоянна, значит, это арифметическая прогрессия.
б) (aₙ₊₁ − 1) − (aₙ − 1) = d. Это арифметическая прогрессия.
в) 2aₙ₊₁ − 2aₙ = 2d. Это арифметическая прогрессия.
г) Не обязательно. Например, для прогрессии 1; 2; 3; … получаем 1; 4; 9; … . Разности \(4 - 1 = 3\) и \(9 - 4 = 5\) различны, поэтому последовательность квадратов не является арифметической прогрессией.
Ответ: а), б), в) — да; г) — не обязательно.
Кратко Пусть d — разность прогрессии (aₙ).
а) a₂ₙ₊₂ − a₂ₙ = 2d, значит, да.
б) (aₙ₊₁ − 1) − (aₙ − 1) = d, значит, да.
в) 2aₙ₊₁ − 2aₙ = 2d, значит, да.
г) Не обязательно: для 1; 2; 3; … квадраты 1; 4; 9; … имеют разные разности: 3 и 5.
Ответ: а), б), в) — да; г) — не обязательно.
а) a₂ₙ₊₂ − a₂ₙ = 2d. Разность постоянна, значит, это арифметическая прогрессия.
б) (aₙ₊₁ − 1) − (aₙ − 1) = d. Это арифметическая прогрессия.
в) 2aₙ₊₁ − 2aₙ = 2d. Это арифметическая прогрессия.
г) Не обязательно. Например, для прогрессии 1; 2; 3; … получаем 1; 4; 9; … . Разности \(4 - 1 = 3\) и \(9 - 4 = 5\) различны, поэтому последовательность квадратов не является арифметической прогрессией.
Ответ: а), б), в) — да; г) — не обязательно.
Кратко Пусть d — разность прогрессии (aₙ).
а) a₂ₙ₊₂ − a₂ₙ = 2d, значит, да.
б) (aₙ₊₁ − 1) − (aₙ − 1) = d, значит, да.
в) 2aₙ₊₁ − 2aₙ = 2d, значит, да.
г) Не обязательно: для 1; 2; 3; … квадраты 1; 4; 9; … имеют разные разности: 3 и 5.
Ответ: а), б), в) — да; г) — не обязательно.
Пусть \(a_n = a_1 + (n - 1)d\).а) \(a_{2n} = a_1 + (2n - 1)d = a_1 + d + (n - 1)\cdot 2d\). Это формула арифметической прогрессии с первым членом \(a_2 = a_1 + d\) и разностью 2d.б) \(a_n - 1 = (a_1 - 1) + (n - 1)d\). Это арифметическая прогрессия с первым членом \(a_1 - 1\) и разностью d.в) \(2a_n = 2a_1 + (n - 1)\cdot 2d\). Это арифметическая прогрессия с первым членом \(2a_1\) и разностью 2d.г) \(a_n^2 = (a_1 + (n - 1)d)^2\). При \(d \ne 0\) эта формула содержит квадрат \((n - 1)^2\) и не имеет вида \(A + (n - 1)D\), поэтому последовательность в общем случае не является арифметической прогрессией. Если d = 0, исходная прогрессия постоянна, и последовательность квадратов также постоянна, то есть является арифметической прогрессией.Ответ: а), б), в) — да; г) — не обязательно, только при d = 0.
Рассмотрим вариант решения задания из учебника
Макарычев, Миндюк, Нешков 9 класс, Просвещение:
Задание учебника 2026 года
Докажите, что если bn и bm — члены геометрической прогрессии, знаменатель которой равен q, то bn = bmqn -m.
Задание учебника 2024 года
Последовательность (аn) — арифметическая прогрессия. Является ли арифметической прогрессией последовательность:
а) a2;a4;...;a2n;...;
б) аn - 1; а2 - 1; ... ; аn -1;...;
в) 2а1; 2а2; ... ; 2аn; ... ;
г) а 2/1; а 2/2; ... ; a 2/n; ... ?
