Упр.891 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)
Решение #1
Решение #2
Решение #3ИИ
Варианты решения:
Найти площадь треугольника, образованного касательной и осямиС пояснением
1) Найдём производную функции: \(y′ = −4/x²\). В точке \(x = 1\) угловой коэффициент касательной равен \(y′(1) = −4\).
2) Составим уравнение касательной: \(y − 4 = −4(x − 1)\), откуда \(y = −4x + 8\).
3) Касательная пересекает оси в точках \((2; 0)\) и \((0; 8)\). Найдём площадь прямоугольного треугольника: \(S = 1/2 · 2 · 8 = 8\).
Ответ: 8.
Кратко \(y′ = −4/x²\), \(y′(1) = −4\).
Касательная: \(y − 4 = −4(x − 1)\), или \(y = −4x + 8\).
Точки пересечения с осями: (2; 0) и (0; 8).
\(\displaystyle S = \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot 8 = 8\).
Ответ: 8.
2) Составим уравнение касательной: \(y − 4 = −4(x − 1)\), откуда \(y = −4x + 8\).
3) Касательная пересекает оси в точках \((2; 0)\) и \((0; 8)\). Найдём площадь прямоугольного треугольника: \(S = 1/2 · 2 · 8 = 8\).
Ответ: 8.
Кратко \(y′ = −4/x²\), \(y′(1) = −4\).
Касательная: \(y − 4 = −4(x − 1)\), или \(y = −4x + 8\).
Точки пересечения с осями: (2; 0) и (0; 8).
\(\displaystyle S = \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot 8 = 8\).
Ответ: 8.
Пусть касательная, проходящая через точку (1; 4), имеет уравнение
\[y = k(x - 1) + 4 = kx + 4 - k.\]
Найдём её общие точки с гиперболой:\[kx + 4 - k = \frac{4}{x}.\]
После умножения на x получаем:\[kx^2 + (4 - k)x - 4 = 0.\]
Для касательной точка пересечения должна соответствовать двойному корню, поэтому дискриминант равен нулю:\[D = (4 - k)^2 + 16k = k^2 + 8k + 16 = (k + 4)^2 = 0.\]
Следовательно, \(k = -4\). Уравнение касательной:\[y = -4x + 8.\]
Она пересекает оси координат в точках (2; 0) и (0; 8). Поэтому площадь ограниченного ею и осями прямоугольного треугольника равна\[S = \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot 8 = 8.\]
Ответ: 8.
Рассмотрим вариант решения задания из учебника
Алимов, Колягин, Ткачёва 10-11 класс, Просвещение:
Прямая касается гиперболы у = 4/x в точке (1; 4). Найти площадь треугольника, ограниченного этой касательной и осями координат.
