Упр.887 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)
Решение #1
Решение #2
Решение #3ИИ
Найти a, при которых \(f′(x) < 0\) неразрешимоС пояснением
Неравенство f′(x) < 0 не должно иметь решений, то есть производная должна быть неотрицательной во всех точках, где она существует.1) \(f(x) = ax^{7} + x^{3} - 1\).
\(f'(x) = 7ax^{6} + 3x^{2} = x^{2}(7ax^{4} + 3)\).
При a ≥ 0 производная неотрицательна. Если a < 0, то при достаточно больших |x| выражение \(7ax^{4} + 3\) отрицательно.
Значит, a ≥ 0.2) \(f(x) = x^{5} + ax^{3} + 3\).
\(f'(x) = 5x^{4} + 3ax^{2} = x^{2}(5x^{2} + 3a)\).
При a ≥ 0 производная неотрицательна. Если a < 0, то для достаточно малых ненулевых x выражение \(5x^{2} + 3a\) отрицательно.
Значит, a ≥ 0.3) \(f(x) = (x + a)\sqrt{x},\ x \ge 0\).
При x > 0:
\(\displaystyle f'(x) = \dfrac{3\sqrt{x}}{2} + \dfrac{a}{2\sqrt{x}} = \dfrac{3x + a}{2\sqrt{x}}\).
Знаменатель положителен. Поэтому \(f′(x) < 0\) равносильно \(3x + a < 0\). При a ≥ 0 это невозможно, а при a < 0 существуют x, для которых \(0 < x < −a/3\).
Значит, a ≥ 0.4) \(f(x) = x + \dfrac{a}{x},\ x \ne 0\).
\(\displaystyle f'(x) = 1 - \dfrac{a}{x^{2}} = \dfrac{x^{2} - a}{x^{2}}\).
Знаменатель положителен. При a ≤ 0 числитель \(x^{2} - a\) положителен. Если a > 0, можно взять \(0 < x² < a\), и тогда производная отрицательна.
Значит, a ≤ 0.Ответ: 1) a ≥ 0; 2) a ≥ 0; 3) a ≥ 0; 4) a ≤ 0.
Кратко 1) \(f'(x) = x^{2}(7ax^{4} + 3)\). Производная нигде не отрицательна при a ≥ 0.2) \(f'(x) = x^{2}(5x^{2} + 3a)\). Требуемое условие выполняется при a ≥ 0.3) При x > 0:
\(\displaystyle f'(x) = \dfrac{3x + a}{2\sqrt{x}}\).
Неравенство f′(x) < 0 не имеет решений при a ≥ 0.4) При x ≠ 0:
\(\displaystyle f'(x) = \dfrac{x^{2} - a}{x^{2}}\).
Производная нигде не отрицательна при a ≤ 0.Ответ: 1) a ≥ 0; 2) a ≥ 0; 3) a ≥ 0; 4) a ≤ 0.
\(f'(x) = 7ax^{6} + 3x^{2} = x^{2}(7ax^{4} + 3)\).
При a ≥ 0 производная неотрицательна. Если a < 0, то при достаточно больших |x| выражение \(7ax^{4} + 3\) отрицательно.
Значит, a ≥ 0.2) \(f(x) = x^{5} + ax^{3} + 3\).
\(f'(x) = 5x^{4} + 3ax^{2} = x^{2}(5x^{2} + 3a)\).
При a ≥ 0 производная неотрицательна. Если a < 0, то для достаточно малых ненулевых x выражение \(5x^{2} + 3a\) отрицательно.
Значит, a ≥ 0.3) \(f(x) = (x + a)\sqrt{x},\ x \ge 0\).
При x > 0:
\(\displaystyle f'(x) = \dfrac{3\sqrt{x}}{2} + \dfrac{a}{2\sqrt{x}} = \dfrac{3x + a}{2\sqrt{x}}\).
Знаменатель положителен. Поэтому \(f′(x) < 0\) равносильно \(3x + a < 0\). При a ≥ 0 это невозможно, а при a < 0 существуют x, для которых \(0 < x < −a/3\).
Значит, a ≥ 0.4) \(f(x) = x + \dfrac{a}{x},\ x \ne 0\).
\(\displaystyle f'(x) = 1 - \dfrac{a}{x^{2}} = \dfrac{x^{2} - a}{x^{2}}\).
Знаменатель положителен. При a ≤ 0 числитель \(x^{2} - a\) положителен. Если a > 0, можно взять \(0 < x² < a\), и тогда производная отрицательна.
Значит, a ≤ 0.Ответ: 1) a ≥ 0; 2) a ≥ 0; 3) a ≥ 0; 4) a ≤ 0.
Кратко 1) \(f'(x) = x^{2}(7ax^{4} + 3)\). Производная нигде не отрицательна при a ≥ 0.2) \(f'(x) = x^{2}(5x^{2} + 3a)\). Требуемое условие выполняется при a ≥ 0.3) При x > 0:
\(\displaystyle f'(x) = \dfrac{3x + a}{2\sqrt{x}}\).
Неравенство f′(x) < 0 не имеет решений при a ≥ 0.4) При x ≠ 0:
\(\displaystyle f'(x) = \dfrac{x^{2} - a}{x^{2}}\).
Производная нигде не отрицательна при a ≤ 0.Ответ: 1) a ≥ 0; 2) a ≥ 0; 3) a ≥ 0; 4) a ≤ 0.
Рассмотрим вариант решения задания из учебника
Алимов, Колягин, Ткачёва 10-11 класс, Просвещение:
Найти все значения а, при которых неравенство f'(х) < 0 не имеет действительных решений, если:
1) f(x) = ax7+x3-1;
2) f(x) = x5+ax3+3;
3) f(x) = (x+a) корень x;
4) f(x) = x + a/x.
