Упр.894 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)
Решение #1
Решение #2
Решение #3ИИ
Варианты решения:
Найти точки графика \(y=\dfrac{4^x-2^{x+1}}{\ln 4}\) с касательной, параллельной \(y=2x+5\)С пояснением
1) Угловой коэффициент прямой \(y=2x+5\) равен 2. Поэтому касательная параллельна этой прямой, если \(f′(x)=2\).2) Найдём производную функции:
\(4^x − 2^x = 2\).
Пусть \(t = 2^x\), тогда \(t > 0\) и \(4^x = t²\):
Кратко
\(4^x − 2^x = 2\).
Пусть \(t = 2^x > 0\). Тогда
\[f′(x)=\frac{4^x\cdot\ln 4-2^{x+1}\cdot\ln 2}{\ln 4}=4^x-2^x.\]
3) Решим уравнение:\(4^x − 2^x = 2\).
Пусть \(t = 2^x\), тогда \(t > 0\) и \(4^x = t²\):
\[t^2-t-2=0,\]
\[(t-2)(t+1)=0.\]
Так как \(t > 0\), получаем \(t = 2\). Значит, \(2^x = 2\), откуда \(x = 1\).4) Найдём ординату точки:\[y(1)=\frac{4-2^2}{\ln 4}=0.\]
Ответ: (1; 0).Кратко
\[f′(x)=4^x-2^x.\]
Так как угловой коэффициент прямой равен 2, решим уравнение:\(4^x − 2^x = 2\).
Пусть \(t = 2^x > 0\). Тогда
\[t^2-t-2=0,\]
\[(t-2)(t+1)=0,\]
\(t = 2\), поэтому \(x = 1\).\[y(1)=\frac{4-4}{\ln 4}=0.\]
Ответ: (1; 0).Угловой коэффициент прямой \(y=2x+5\) равен 2, поэтому в искомых точках должно выполняться \(f'(x)=2\).Для функции
\[f(x)=\frac{4^x-2^{x+1}}{\ln 4}\]
получаем\[f'(x)=\frac{4^x\cdot\ln 4-2^{x+1}\cdot\ln 2}{\ln 4}=4^x-2^x.\]
Следовательно, нужно решить уравнение\[4^x-2^x=2.\]
При \(x<0\) имеем \(0<2^x<1\), поэтому \(4^x=(2^x)^2<2^x\). Тогда \(4^x−2^x<0\), и решений на этом промежутке нет.Рассмотрим \(h(x)=4^x-2^x\) при x≥0. Её производная равна\[h'(x)=4^x\ln 4-2^x\ln 2=2^x\ln 2\cdot(2\cdot 2^x-1).\]
При x≥0 все множители положительны, поэтому h′(x)>0. Значит, h(x) строго возрастает. Поскольку\[h(1)=4-2=2,\]
уравнение имеет единственное решение \(x=1\).Найдём ординату:\[f(1)=\frac{4-2^2}{\ln 4}=0.\]
Ответ: (1; 0).
Рассмотрим вариант решения задания из учебника
Алимов, Колягин, Ткачёва 10-11 класс, Просвещение:
Найти все такие точки графика функции у =(4x-2^)x+1))/ln4, в которых касательная к этому графику параллельна прямой у = 2х + 5.
