Упр.896 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)
Решение #1
Решение #2
Решение #3ИИ
Варианты решения:
Найти параметр, при котором прямая касается графикаС пояснением
Пусть x₀ — абсцисса точки касания. Для функции \(f(x) = 1 + \ln x\) имеем \(f'(x) = 1/x\), поэтому \(a = 1/x_0\).
Уравнение касательной:
Ответ: \(a = e^2\).
Кратко Пусть \(x_0\) — абсцисса точки касания. Тогда \(f'(x_0) = 1/x_0\), а уравнение касательной имеет вид \(y = x/x_0 + \ln x_0\).
Сравнивая с y = ax − 2, получаем ln x₀ = −2, x₀ = e⁻² и \(a = 1/x_0\) = e².
Ответ: \(a = e^2\).
Уравнение касательной:
\[y = 1 + \ln x_0 + \frac{x - x_0}{x_0} = \frac{x}{x_0} + \ln x_0.\]
Сравнивая его с y = ax − 2, получаем ln x₀ = −2, откуда x₀ = e⁻² и \(a = 1/x_0\) = e².Ответ: \(a = e^2\).
Кратко Пусть \(x_0\) — абсцисса точки касания. Тогда \(f'(x_0) = 1/x_0\), а уравнение касательной имеет вид \(y = x/x_0 + \ln x_0\).
Сравнивая с y = ax − 2, получаем ln x₀ = −2, x₀ = e⁻² и \(a = 1/x_0\) = e².
Ответ: \(a = e^2\).
При касании графики должны иметь общую точку. Из равенства
\[1 + \ln x = ax - 2\]
получаем\[\ln x - ax + 3 = 0.\]
Так как производная \(1 + \ln x\) равна \(1/x > 0\), угловой коэффициент касательной положителен, поэтому \(a > 0\).Положим \(t = ax\), тогда \(x = t/a\) и \(t > 0\). Уравнение общей точки примет вид\[\ln(t/a) - t + 3 = 0,\]
то есть\[\ln t - t = \ln a - 3.\]
Для любого \(t > 0\) выполняется неравенство\[\ln t \le t - 1,\]
следовательно,\[\ln t - t \le -1,\]
причём равенство достигается только при t = 1. Поэтому прямая касается графика именно тогда, когда уравнение имеет единственное решение, соответствующее максимуму левой части:\[\ln a - 3 = -1.\]
Отсюда\[\ln a = 2,\]
\[a = e^2.\]
При этом \(t = 1\), значит \(x = 1/a = e^{-2}\). В этой точке производная функции равна \(1/x = e^2\), то есть совпадает с угловым коэффициентом прямой.Ответ: \(a = e^2\).
Рассмотрим вариант решения задания из учебника
Алимов, Колягин, Ткачёва 10-11 класс, Просвещение:
Выяснить, при каких значениях параметра а прямая у = ах - 2 касается графика функции у = 1 + ln х.
