Упр.885 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)
Решение #1
Решение #2
Решение #3ИИ
Варианты решения:
Найти значения параметра по условию на производнуюС пояснением
1) Найдём производную: \(f'(x) = 3ax^{2} − 12x − 1\).2) При a > 0 ветви параболы направлены вверх, поэтому производная не может быть неположительной при всех x. При \(a = 0\) получаем \(f'(x) = -12x - 1\), что также не удовлетворяет условию.3) При \(a < 0\) ветви параболы направлены вниз. Производная неположительна при всех x, если дискриминант квадратного трёхчлена не больше нуля:
Кратко \(f'(x) = 3ax^2 − 12x − 1\).
При \(a ≥ 0\) условие не выполняется. При \(a < 0\) требуется \(D ≤ 0\):
\(144 + 12a \le 0\), откуда \(a \le −12\).
Ответ: a ∈ (−∞; −12].
\[D = 144 + 12a \leq 0,\]
\[a \leq -12.\]
Ответ: a ∈ (−∞; −12].Кратко \(f'(x) = 3ax^2 − 12x − 1\).
При \(a ≥ 0\) условие не выполняется. При \(a < 0\) требуется \(D ≤ 0\):
\(144 + 12a \le 0\), откуда \(a \le −12\).
Ответ: a ∈ (−∞; −12].
Найдём производную:
\(f'(x)=3ax^2-12x-1\).Если a>0, то при больших по модулю x слагаемое \(3ax^2\) положительно и неограниченно возрастает, поэтому условие \(f'(x)\leq 0\) для всех x невозможно.Если \(a=0\), то \(f'(x)=-12x-1\), и, например, при \(x=-1\) получаем \(f'(-1)=11>0\).Пусть a<0. Выделим полный квадрат:
\(\displaystyle f'(x)=3a\left(x-\dfrac{2}{a}\right)^2-\dfrac{12}{a}-1\).Поскольку a<0, первое слагаемое неположительно. Поэтому наибольшее значение производной достигается при \(x=\dfrac{2}{a}\) и равно
\(-12/a-1\).Требуется, чтобы это значение было неположительным:
\(\displaystyle -\dfrac{12}{a}-1\leq 0\).
Так как a<0, после умножения на a знак неравенства меняется:
\(-12\geq a\),
то есть \(a\leq -12\).Ответ: \(a\in(-\infty;-12]\).
\(f'(x)=3ax^2-12x-1\).Если a>0, то при больших по модулю x слагаемое \(3ax^2\) положительно и неограниченно возрастает, поэтому условие \(f'(x)\leq 0\) для всех x невозможно.Если \(a=0\), то \(f'(x)=-12x-1\), и, например, при \(x=-1\) получаем \(f'(-1)=11>0\).Пусть a<0. Выделим полный квадрат:
\(\displaystyle f'(x)=3a\left(x-\dfrac{2}{a}\right)^2-\dfrac{12}{a}-1\).Поскольку a<0, первое слагаемое неположительно. Поэтому наибольшее значение производной достигается при \(x=\dfrac{2}{a}\) и равно
\(-12/a-1\).Требуется, чтобы это значение было неположительным:
\(\displaystyle -\dfrac{12}{a}-1\leq 0\).
Так как a<0, после умножения на a знак неравенства меняется:
\(-12\geq a\),
то есть \(a\leq -12\).Ответ: \(a\in(-\infty;-12]\).
Рассмотрим вариант решения задания из учебника
Алимов, Колягин, Ткачёва 10-11 класс, Просвещение:
Найти все значения а, при которых f'(x) < = 0 для всех действительных значений х, если f (х) = ах3 - 6х2 - х.
