Упр.897 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)
Решение #1
Решение #2
Решение #3ИИ
Варианты решения:
Найти общие касательные к графикам функцийС пояснением
Пусть общая касательная имеет вид \(y = kx + b\). Каждое из уравнений, полученных при пересечении прямой с параболами, должно иметь единственный корень:
\((k + 4)^2 − 4(3 − b) = 0\);
\((6 − k)^2 − 4(10 + b) = 0\).Сложив эти равенства, получим:
Кратко Пусть y = kx + b — общая касательная. Приравниваем к нулю дискриминанты уравнений пересечения с параболами:
\((k + 4)^2 − 4(3 − b) = 0\);
\((6 − k)^2 − 4(10 + b) = 0\).Складываем равенства: \((k + 4)^2 + (6 - k)^2 = 52\), откуда \(k = 0\) или \(k = 2\).
По формуле \(b = 3 - \frac{(k + 4)^2}{4}\) получаем соответственно \(b = -1\) и \(b = -6\).Ответ: \(y = −1\); \(y = 2x − 6\).
\[x^2 - (k + 4)x + 3 - b = 0;\]
\[x^2 - (6 - k)x + 10 + b = 0.\]
Приравняем дискриминанты к нулю:\((k + 4)^2 − 4(3 − b) = 0\);
\((6 − k)^2 − 4(10 + b) = 0\).Сложив эти равенства, получим:
\[(k + 4)^2 + (6 - k)^2 = 52,\]
\[2k^2 - 4k = 0,\]
\[k = 0 \text{ или } k = 2.\]
Из первого равенства \(b = 3 - \frac{(k + 4)^2}{4}\). При \(k = 0\) получаем \(b = -1\), при \(k = 2\) получаем \(b = -6\).Ответ: \(y = −1\); \(y = 2x − 6\).Кратко Пусть y = kx + b — общая касательная. Приравниваем к нулю дискриминанты уравнений пересечения с параболами:
\((k + 4)^2 − 4(3 − b) = 0\);
\((6 − k)^2 − 4(10 + b) = 0\).Складываем равенства: \((k + 4)^2 + (6 - k)^2 = 52\), откуда \(k = 0\) или \(k = 2\).
По формуле \(b = 3 - \frac{(k + 4)^2}{4}\) получаем соответственно \(b = -1\) и \(b = -6\).Ответ: \(y = −1\); \(y = 2x − 6\).
Пусть общая прямая касается графика f в точке с абсциссой a, а графика g — в точке с абсциссой c.Производные функций:
\[f'(x)=2x-4,\]
\[g'(x)=-2x+6.\]
Касательная к графику f в точке \(x=a\):\[y=f(a)+f'(a)(x-a)=(2a-4)x+3-a^2.\]
Касательная к графику g в точке \(x=c\):\[y=g(c)+g'(c)(x-c)=(-2c+6)x+c^2-10.\]
Чтобы эти касательные совпадали, должны быть равны их угловые коэффициенты и свободные члены:\[2a-4=-2c+6,\]
\[3-a^2=c^2-10.\]
Отсюда\[\text{а}+c=5,\]
\[a^2+c^2=13.\]
Так как \((a+c)^2=a^2+2ac+c^2\), получаем\[25=13+2ac,\]
\[ac=6.\]
Следовательно, числа a и c являются корнями уравнения\[t^2-5t+6=0,\]
то есть равны 2 и 3. Возможны пары (a,c)=(2,3) и (3,2).При a=2 касательная к f имеет вид\[y=(2\cdot2-4)x+3-2^2=-1.\]
При a=3:\[y=(2\cdot3-4)x+3-3^2=2x-6.\]
Ответ: \(y=−1\); \(y=2x−6\).
Рассмотрим вариант решения задания из учебника
Алимов, Колягин, Ткачёва 10-11 класс, Просвещение:
Найти общие касательные к графикам функций f (х) = х2 - 4х + 3 и g (х) = -х2 + 6х - 10.
