Упр.888 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)
Решение #1
Решение #2
Решение #3ИИ
Варианты решения:
Найти углы пересечения графиков функцийС пояснением
Угол между графиками найдём как угол между касательными к ним в точке пересечения. Если их угловые коэффициенты равны k₁ и k₂, то \(\operatorname{tg}\varphi = \left|\dfrac{k_1-k_2}{1+k_1k_2}\right|\).1) Из равенства \(2\sqrt{x} = 2\sqrt{6-x}\) получаем \(x = 3\). Производные функций: \(y_1' = \dfrac{1}{\sqrt{x}}\), \(y_2' = -\dfrac{1}{\sqrt{6-x}}\). В точке пересечения \(k_1 = 1/\sqrt{3}\), \(k_2 = -1/\sqrt{3}\). Тогда \(\operatorname{tg}\varphi = \dfrac{2/\sqrt{3}}{2/3} = \sqrt{3}\), откуда \(\varphi = 60°\).2) Из равенства \(\sqrt{2x+1} = 1\) получаем \(x = 0\). Производные функций: \(y_1' = \dfrac{1}{\sqrt{2x+1}}\), \(y_2' = 0\). В точке пересечения \(k_1 = 1\), \(k_2 = 0\). Тогда \(\operatorname{tg}\varphi = 1\), откуда \(\varphi = 45°\).Ответ: 1) 60°; 2) 45°.
Кратко 1) Точка пересечения имеет абсциссу \(x = 3\). Угловые коэффициенты касательных: \(k_1 = 1/\sqrt{3}\), \(k_2 = -1/\sqrt{3}\). \(\operatorname{tg}\varphi = \left|\dfrac{k_1-k_2}{1+k_1k_2}\right| = \sqrt{3}\), поэтому \(\varphi = 60°\).2) Точка пересечения имеет абсциссу \(x = 0\). Угловые коэффициенты касательных: \(k_1 = 1\), \(k_2 = 0\). \(\operatorname{tg}\varphi = \left|\dfrac{k_1-k_2}{1+k_1k_2}\right| = 1\), поэтому \(\varphi = 45°\).Ответ: 1) 60°; 2) 45°.
Кратко 1) Точка пересечения имеет абсциссу \(x = 3\). Угловые коэффициенты касательных: \(k_1 = 1/\sqrt{3}\), \(k_2 = -1/\sqrt{3}\). \(\operatorname{tg}\varphi = \left|\dfrac{k_1-k_2}{1+k_1k_2}\right| = \sqrt{3}\), поэтому \(\varphi = 60°\).2) Точка пересечения имеет абсциссу \(x = 0\). Угловые коэффициенты касательных: \(k_1 = 1\), \(k_2 = 0\). \(\operatorname{tg}\varphi = \left|\dfrac{k_1-k_2}{1+k_1k_2}\right| = 1\), поэтому \(\varphi = 45°\).Ответ: 1) 60°; 2) 45°.
1) Точка пересечения графиков определяется равенством \(2\sqrt{x} = 2\sqrt{6-x}\), откуда \(x = 3\), \(y = 2\sqrt{3}\).Первую параболу запишем в виде \(y^2 = 4x\). Пусть её касательная \(y = kx + b\) проходит через точку \((3; 2\sqrt{3})\). После подстановки получаем
\[k^2x^2 + (2kb - 4)x + b^2 = 0.\]
Прямая является касательной, если это уравнение имеет единственный корень, то есть его дискриминант равен нулю:\[(2kb - 4)^2 - 4k^2b^2 = 0,\]
\[kb = 1.\]
Кроме того, \(3k + b = 2\sqrt{3}\). Подставляя \(b = \dfrac{1}{k}\), получаем\[3k^2 - 2\sqrt{3}k + 1 = 0,\]
откуда \(k_1 = \dfrac{1}{\sqrt{3}}\).Вторая парабола задаётся уравнением \(y^2 = 24 - 4x\). После подстановки \(y = kx + b\) получаем\[k^2x^2 + (2kb + 4)x + b^2 - 24 = 0.\]
Условие касания:\[(2kb + 4)^2 - 4k^2(b^2 - 24) = 0,\]
\[6k^2 + kb + 1 = 0.\]
Так как касательная проходит через \((3; 2\sqrt{3})\), имеем \(b = 2\sqrt{3} - 3k\). Поэтому\[3k^2 + 2\sqrt{3}k + 1 = 0,\]
откуда \(k_2 = -\dfrac{1}{\sqrt{3}}\).Тогда для меньшего угла φ между касательными\[\operatorname{tg} \varphi = \left|\frac{k_1-k_2}{1+k_1k_2}\right| = \left|\frac{2/\sqrt{3}}{1-1/3}\right| = \sqrt{3}.\]
Следовательно, \(\varphi = 60^\circ\).2) Точка пересечения: \(\sqrt{2x + 1} = 1\), поэтому \(x = 0\), \(y = 1\).Парабола задаётся уравнением \(y^2 = 2x + 1\). Подставим прямую \(y = kx + b\):\[k^2x^2 + (2kb - 2)x + b^2 - 1 = 0.\]
Условие касания:\[(2kb - 2)^2 - 4k^2(b^2 - 1) = 0,\]
\[k^2 - 2kb + 1 = 0.\]
Касательная проходит через (0; 1), поэтому b = 1. Тогда\[(k - 1)^2 = 0,\]
то есть \(k_1 = 1\).Прямая \(y = 1\) имеет угловой коэффициент \(k_2 = 0\). Поэтому\[\operatorname{tg} \varphi = \left|\frac{1 - 0}{1 + 1 \cdot 0}\right| = 1,\]
следовательно, \(\varphi = 45^\circ\).Ответ: 1) 60°; 2) 45°.
Рассмотрим вариант решения задания из учебника
Алимов, Колягин, Ткачёва 10-11 класс, Просвещение:
Под каким углом пересекаются графики функций:
1) y= 2 корень x и y=2 корень (6-x);
2) y= корень (2x+1) и y=1.
