Упр.231 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)
Решение #1(Учебник 2025)
Решение #2 (Учебник 2025)ИИ
Доказать свойства углов при основанииС пояснением
Пусть в равнобедренном треугольнике ABC стороны AB и AC равны, а BC — основание.1) Углы при основании равны: ∠B = ∠C. Сумма этих углов меньше 180°, так как вместе с ∠A она равна 180°. Поэтому каждый из равных углов ∠B и ∠C меньше 90°, то есть оба угла острые.2) Каждый внешний угол при основании смежный с соответствующим внутренним углом. Их сумма равна 180°. Так как внутренний угол при основании меньше 90°, внешний угол больше 90°, но меньше 180°. Значит, внешние углы при основании тупые.Ответ: углы при основании равнобедренного треугольника острые, а внешние углы при основании тупые.
Кратко Пусть AB = AC, тогда ∠B = ∠C. Поскольку ∠B + ∠C < 180°, каждый из этих равных углов меньше 90°, то есть острый. Смежный с ним внешний угол равен 180° − ∠B, поэтому он больше 90° и является тупым.Ответ: внутренние углы при основании острые, внешние — тупые.
Кратко Пусть AB = AC, тогда ∠B = ∠C. Поскольку ∠B + ∠C < 180°, каждый из этих равных углов меньше 90°, то есть острый. Смежный с ним внешний угол равен 180° − ∠B, поэтому он больше 90° и является тупым.Ответ: внутренние углы при основании острые, внешние — тупые.
Решение #3(Учебник 2023)
Решение #4 (Учебник 2023)ИИ
Доказать, что треугольник ABC прямоугольныйС пояснением
1) Так как AM — медиана, то BM = CM. По условию AM = BC : 2, значит AM = BM = CM.
2) Треугольник ABM равнобедренный, поэтому ∠BAM = ∠ABM. Обозначим каждый из этих углов через x.
3) Треугольник ACM равнобедренный, поэтому ∠MAC = ∠ACM. Обозначим каждый из этих углов через y.
4) Точки B, M и C лежат на одной прямой, поэтому углы треугольника ABC равны: ∠ABC = x, ∠BCA = y, ∠BAC = x + y.
5) По сумме углов треугольника:
x + y + (x + y) = 180°,
2(x + y) = 180°,
x + y = 90°.
Следовательно, ∠BAC = 90°.
Ответ: треугольник ABC прямоугольный, прямой угол — ∠A.
Кратко AM = BM = CM. Поэтому △ABM и △ACM равнобедренные. Пусть ∠BAM = ∠ABM = x, а ∠MAC = ∠ACM = y. Тогда углы △ABC равны x, y и x + y. Значит, 2(x + y) = 180°, откуда ∠A = x + y = 90°.
Ответ: △ABC прямоугольный при вершине A.
2) Треугольник ABM равнобедренный, поэтому ∠BAM = ∠ABM. Обозначим каждый из этих углов через x.
3) Треугольник ACM равнобедренный, поэтому ∠MAC = ∠ACM. Обозначим каждый из этих углов через y.
4) Точки B, M и C лежат на одной прямой, поэтому углы треугольника ABC равны: ∠ABC = x, ∠BCA = y, ∠BAC = x + y.
5) По сумме углов треугольника:
x + y + (x + y) = 180°,
2(x + y) = 180°,
x + y = 90°.
Следовательно, ∠BAC = 90°.
Ответ: треугольник ABC прямоугольный, прямой угол — ∠A.
Кратко AM = BM = CM. Поэтому △ABM и △ACM равнобедренные. Пусть ∠BAM = ∠ABM = x, а ∠MAC = ∠ACM = y. Тогда углы △ABC равны x, y и x + y. Значит, 2(x + y) = 180°, откуда ∠A = x + y = 90°.
Ответ: △ABC прямоугольный при вершине A.
Рассмотрим вариант решения задания из учебника
Атанасян, Бутузов 7-9 класс, Просвещение:
Задание учебника 2025 года
Докажите, что: а) углы при основании равнобедренного треугольника острые; б) внешние углы при основании равнобедренного треугольника тупые.
Дано:
AB=BC;
Доказать:
а) угол BAC < 90°;
б) угол BAD > 90°;
Решение:
1) Построим высоту BH;
2) Прямоугольные треугольники:
BH-общий катет; угол BHA=угол BHC;
AB=BC; треугольник ABH=треугольник CBH; угол A=угол C;
а) Сумма углов треугольника:
угол A+угол B+угол C=180°, угол A=угол C;
2угол A=180°-угол B, угол A=90°-(угол B)/2;
угол BAH=угол A=(90°-1/2угол B) < 90°;
б) Для развернутого угла:
угол DAH=угол DAB+угол BAH=180°;
угол DAB=(180°-угол BAH) > 90°;
Что и требовалось доказать.
Задание учебника 2023 года
Медиана AM треугольника ABC равна половине стороны ВС. Докажите, что треугольник ABC прямоугольный.
