Вопрос 22 Параграф 6 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)
Решение #1
Рассмотрим вариант решения задания из учебника Погорелов 7 класс, Просвещение:
22. Докажите, что середины сторон треугольника, середины отрезков, соединяющих его ортоцентр с вершинами, и основания высот треугольника лежат на окружности Эйлера.
Отобразим условие задачи:
Доказать: середины сторон треугольника, середины отрезков, соеди-
няющих его ортоцентр с вершинами, и основания высот треугольника
лежат на одной окружности;
Доказательство:
1) Пусть дан треугольник ABC, точки A1, B1 и C1 являются серединами
его сторон, точки A2, B2 и C2 являются основаниями высот, а точки
H1, H2 и H3-середины отрезков, соединяющих его ортоцентр H с
вершинами треугольника;
2) Прямые C1 H2 и AH параллельны, так как они отсекают равные отрезки
на сторонах угла ABH: AC1=C1 B и BH2=H2 H (теорема Фалеса);
3) Прямые B1 H3 и AH параллельны, так как они отсекают равные отрезки
на сторонах угла ACH: AB1=B1 C и HH3=H3 C (теорема Фалеса);
4) Значит отрезки C1 H2 и B1 H3 параллельны, так как они параллельны
одной прямой AH;
5) Отрезки C1 B1 и H2 H3 параллельны (как средние линии треугольников
BCH и BCA с общим основанием BC);
6) Следовательно, четырехугольник C1 B1 H3 H2-параллелограмм, но
AH перпендикулярен BC, значит C1 H2 перпендикулярен C1 B1 и B1 H3 перпендикулярен H2 H3, то есть C1 B1 H3 H2 является
прямоугольником;
7) Аналогично доказывается, что прямоугольником является четы-
рехугольник C1 H1 H3 A1;
8) Значит отрезки A1 H1, B1 H2 и C1 H3 равны (по свойству диагоналей
прямоугольника) и пересекаются в одной точке O;
9) Следовательно, середины сторон данного треугольника и середины
отрезков, соединяющих его ортоцентр с вершинами, лежат на одной
окружности с центром O, являющейся окружностью Эйлера;
10) На этой окружности лежит и основание высоты AA2, так как углы
A1 A2 H1 и A1 C1 H1-прямые, поэтому их вершины лежат на одной
окружности с диаметром A1 H1;
11) Аналогично доказывается, что основания высот BB2 и CC2 тоже
лежат на этой окружности, что и требовалось доказать.
*размещая тексты в комментариях ниже, вы автоматически соглашаетесь с пользовательским соглашением
