Упр.604 ГДЗ Мерзляк Полонский 7 класс (Алгебра)
Решение #1(Учебник 2025)
Решение #2(Учебник 2025)
Решение #3 (Учебник 2025)ИИ
Варианты решения:
Докажите делимость выражения на 6С пояснением
1) Разложим выражение на множители:
\(n^3 + 3n^2 + 2n = n(n^2 + 3n + 2) = n(n + 1)(n + 2)\).
2) Числа n, n + 1 и n + 2 — три последовательных натуральных числа. Одно из них делится на 3, а хотя бы одно — на 2. Поэтому их произведение делится на 6.
Ответ: выражение делится на 6 при любом натуральном n.
Кратко \(n^3 + 3n^2 + 2n = n(n + 1)(n + 2)\).
Среди трёх последовательных чисел одно делится на 3, а хотя бы одно — на 2. Значит, их произведение делится на 6.
Ответ: выражение делится на 6 при любом натуральном n.
\(n^3 + 3n^2 + 2n = n(n^2 + 3n + 2) = n(n + 1)(n + 2)\).
2) Числа n, n + 1 и n + 2 — три последовательных натуральных числа. Одно из них делится на 3, а хотя бы одно — на 2. Поэтому их произведение делится на 6.
Ответ: выражение делится на 6 при любом натуральном n.
Кратко \(n^3 + 3n^2 + 2n = n(n + 1)(n + 2)\).
Среди трёх последовательных чисел одно делится на 3, а хотя бы одно — на 2. Значит, их произведение делится на 6.
Ответ: выражение делится на 6 при любом натуральном n.
Пусть \(n = 6k + r\), где k — целое неотрицательное число, а r ∈ {0, 1, 2, 3, 4, 5}. Тогда
\(r = 0\): \(0^3 + 3\cdot 0^2 + 2\cdot 0 = 0\);
\(r = 1\): \(1^3 + 3\cdot 1^2 + 2\cdot 1 = 6\);
\(r = 2\): \(2^3 + 3\cdot 2^2 + 2\cdot 2 = 24\);
\(r = 3\): \(3^3 + 3\cdot 3^2 + 2\cdot 3 = 60\);
\(r = 4\): \(4^3 + 3\cdot 4^2 + 2\cdot 4 = 120\);
\(r = 5\): \(5^3 + 3\cdot 5^2 + 2\cdot 5 = 210\).Все полученные числа делятся на 6. Следовательно, \(n^3 + 3n^2 + 2n\) делится на 6 при любом натуральном \(n\).
\(n^3 + 3n^2 + 2n = (6k + r)^3 + 3(6k + r)^2 + 2(6k + r)\)
\(= 6(36k^3 + 18k^2r + 3kr^2 + 18k^2 + 6kr + 2k) + r^3 + 3r^2 + 2r\).Первое слагаемое делится на 6. Проверим второе для всех возможных остатков r:\(r = 0\): \(0^3 + 3\cdot 0^2 + 2\cdot 0 = 0\);
\(r = 1\): \(1^3 + 3\cdot 1^2 + 2\cdot 1 = 6\);
\(r = 2\): \(2^3 + 3\cdot 2^2 + 2\cdot 2 = 24\);
\(r = 3\): \(3^3 + 3\cdot 3^2 + 2\cdot 3 = 60\);
\(r = 4\): \(4^3 + 3\cdot 4^2 + 2\cdot 4 = 120\);
\(r = 5\): \(5^3 + 3\cdot 5^2 + 2\cdot 5 = 210\).Все полученные числа делятся на 6. Следовательно, \(n^3 + 3n^2 + 2n\) делится на 6 при любом натуральном \(n\).
Решение #4(Учебник 2021)
Решение #5(Учебник 2021)
Решение #6 (Учебник 2021)ИИ
Варианты решения:
Докажите независимость разности от выбора чиселС пояснением
Пусть n и n + 1 — два последовательных целых числа. По формуле квадрата разности получаем:
\(n^2 + (n + 1)^2 - 2n(n + 1) = (n - (n + 1))^2 = (-1)^2 = 1\).
Полученное значение не зависит от n, значит, не зависит и от выбора чисел.
Ответ: разность всегда равна 1.
Кратко Пусть n и n + 1 — последовательные целые числа. Тогда
\(n^2 + (n + 1)^2 - 2n(n + 1) = (n - (n + 1))^2 = 1\).
Ответ: разность всегда равна 1, независимо от выбора чисел.
\(n^2 + (n + 1)^2 - 2n(n + 1) = (n - (n + 1))^2 = (-1)^2 = 1\).
Полученное значение не зависит от n, значит, не зависит и от выбора чисел.
Ответ: разность всегда равна 1.
Кратко Пусть n и n + 1 — последовательные целые числа. Тогда
\(n^2 + (n + 1)^2 - 2n(n + 1) = (n - (n + 1))^2 = 1\).
Ответ: разность всегда равна 1, независимо от выбора чисел.
Обозначим через E(n) значение выражения для пары n и n+1:
\(E(n)=n^2+(n+1)^2-2n(n+1)\).Сравним его со значением для следующей пары n+1 и n+2:
\(E(0)=0^2+1^2-2\cdot0\cdot1=1\).Следовательно, разность всегда равна 1 и не зависит от выбора чисел.
\(E(n)=n^2+(n+1)^2-2n(n+1)\).Сравним его со значением для следующей пары n+1 и n+2:
\(E(n+1)-E(n)=(n+1)^2+(n+2)^2-2(n+1)(n+2)-n^2-(n+1)^2+2n(n+1)\)
\(=(n^2+4n+4)-(2n^2+6n+4)-n^2+(2n^2+2n)=0\).Значит, при переходе от любой пары последовательных целых чисел к следующей значение выражения не меняется. Поэтому оно одинаково для всех таких пар. Для пары 0 и 1 получаем:\(E(0)=0^2+1^2-2\cdot0\cdot1=1\).Следовательно, разность всегда равна 1 и не зависит от выбора чисел.
Рассмотрим вариант решения задания из учебника
Мерзляк, Полонская, Якир 7 класс, Вентана-Граф:
Задание учебника 2025 года
Докажите, что при всех натуральных значениях п значение выражения n3 + 3n2 + 2n делится нацело на 6.
Задание учебника 2021 года
Докажите, что разность суммы квадратов двух последовательных целых чисел и их удвоенного произведения не зависит от выбора чисел.
