Упр.5.51 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)
Решение #1
Решение #2
Рассмотрим вариант решения задания из учебника Погорелов 7 класс, Просвещение:
51 1) Из точки А к окружности с центром О и радиусом R проведена касательная (рис. 112). Докажите, что точка С касания лежит на основании равнобедренного треугольника ОАВ, у которого ОА = АВ, ОВ = 2R.
2) Проведите касательную к окружности, проходящую через данную точку вне окружности.
I) Отобразим условие задачи:
Дано: касательная из точки A и окружность с центром O и радиусом R,
касаются в точке C;
Доказать: точка C лежит на основаниии равнобедренного треугольника
OAB, у которого OA=AB и OB=2R;
Доказательство:
1) Отрезок OC является радиусом данной окружности, значит:
OC=R, а также отрезок OC и касательная AC перпендикулярны;
2) Согласно теореме о геометрическом месте точек, равноудаленных
от двух данных точек, существует точка B удаленная от точки C на
расстояние R (как точка A) и при этом отрезок OB перпендикулярен
прямой AC;
3) Так как в треугольнике AOB отрезок AC является высотой и медианой,
то он равнобедренный, отсюда OA=AB;
4) Таким образом, точка C лежит на основаниии OB равнобедренного
треугольника AOB, при этом OB=OC+CB=R+R=2R, что и
требовалось доказать.
II)
Построить: касательную к окружности, проходящую через данную точку;
Построение:
1) Пусть даны точка A и окружность с центром в точке O.
2) Проведем прямую через точку O, на пересечении этой прямой и
данной окружности отметим точки D и D1;
3) Отрезок DD1 равен 2R (как диаметр);
4) Из точки A проведем окружность радиуса AO, а из точки O проведем
окружность радиуса DD1, на пересечении этих окружностей отметим
точку B;
5) На пересечении отрезка OB и окружности с центром в точке O,
отметим точку C, данная точка лежит на основаниии равнобедренного
треугольника AOB;
6) Прямая AC-искомая касательная
*размещая тексты в комментариях ниже, вы автоматически соглашаетесь с пользовательским соглашением
