Упр.14.41 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)
Решение #1
Рассмотрим вариант решения задания из учебника Погорелов 9 класс, Просвещение:
41. Докажите, что среди всех параллелограммов с данными диагоналями наибольшую площадь имеет ромб.
Доказать: среди всех параллелограммов с данными диагоналями
наибольшую площадь имеет ромб;
Доказательство:
1) Пусть ABCD-параллелограмм с данными диагоналями AC и BD
и наибольшей площадью S;
2) По доказанному в предыдущей задаче его площадь равна:
S=1/2•AC•BD•sin угла AOD;
3) Синус угла не может быть больше единицы, это следует из
определения синуса острого угла как отношения противолежащего
катета к гипотензуе, а также из тождества sina=sin(180°-a), которое
означает, что синус любого тупого угла равен синусу, какого-нибудь
острого угла;
4) Следовательно, наибольшее значение S достигается при:
sin угла AOD=1, отсюда угол AOD=90°;
5) По свойству параллелограмма: AO=OC и BO=OD;
6) Прямоугольные треугольники AOB, BOC, COD и AOD равны по двум
катетам, отсюда следует равенство их гипотенуз: AB=BC=CD=AD;
7) Таким образом, все стороны параллелограмма ABCD равны, значит
он является ромбом, что и требовалось доказать.
*размещая тексты в комментариях ниже, вы автоматически соглашаетесь с пользовательским соглашением
